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polynôme de Jacobi
Pour deux réels α et β strictement supérieurs à −1, les polynômes de Jacobi forment une famille de polynômes orthogonaux sur [−1, 1] pour le poids (1 − x)^α(1 + x)^β. Les paramètres α et β modulent ainsi l'importance accordée à chaque extrémité de l'intervalle, ce qui rend cette famille utile pour l'approximation et le calcul d'intégrales.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier les paramètres α et β au poids sur l'intervalle [−1, 1].
- Lire la condition d'orthogonalité et la formule de Rodrigues avec toutes les notations introduites.
- Calculer le polynôme de Legendre P₂(x) = (3x² − 1)/2 depuis Rodrigues.
- Vérifier le résultat par une intégrale et par l'équation différentielle.
- Repérer le seuil α, β > −1 et les effets d'une convention de normalisation.
En clair
Imaginez que l'on compare des polynômes sur l'intervalle de −1 à 1. Les valeurs proches d'une extrémité peuvent compter davantage que les autres grâce à deux paramètres, α et β. Ce réglage forme le poids de la comparaison.
Les polynômes de Jacobi sont construits pour que deux membres d'indices différents aient un produit pondé dont l'intégrale vaut zéro. Ils se comportent ainsi comme des directions perpendiculaires, mais dans un espace de fonctions. Les choix α = β = 0 redonnent les polynômes de Legendre.
Définition
Pour deux paramètres réels α et β strictement supérieurs à −1, le poids sur l'intervalle [−1, 1] est la fonction . Le produit scalaire de deux polynômes P et Q est alors . La famille des polynômes de Jacobi est orthogonale pour ce produit : deux indices distincts donnent une intégrale nulle.
Avec la normalisation fixée par la formule de Rodrigues, le polynôme d'indice naturel n est . Les paramètres déterminent le poids ; l'indice n détermine le degré.
Ces polynômes satisfont l'équation . Le choix α = β = 0 donne exactement les polynômes de Legendre. Le choix α = β = −1/2 donne les polynômes de Tchebychev, à un facteur de normalisation près selon la convention retenue.
De quoi c'est fait
La famille repose sur quatre données. L'intervalle [−1, 1] fixe le domaine d'intégration. Les paramètres α et β, tous deux supérieurs à −1, fixent le poids (1 − x)α(1 + x)β. L'indice naturel n choisit un polynôme de degré n. Enfin, une normalisation fixe son facteur multiplicatif.
Le poids et l'intervalle déterminent le produit scalaire, donc le sens du mot « orthogonal ». L'indice n intervient ensuite dans la dérivation d'ordre n de Rodrigues et dans l'équation différentielle. Multiplier chaque polynôme par une constante non nulle préserve l'orthogonalité, mais change sa normalisation.
Ces données suffisent à construire chaque membre de la famille et à tester son orthogonalité par intégration. La couleur ou le tracé d'une courbe n'appartiennent pas à la définition.
Un exemple, pas à pas
Construisons le membre d'indice n = 2 lorsque α = β = 0. Le poids vaut alors 1 et la famille obtenue est celle de Legendre. Les données sont l'intervalle [−1, 1], les deux paramètres nuls et une dérivation d'ordre 2.
1. La formule de Rodrigues devient .
2. En développant (1 − x²)2 = 1 − 2x² + x4, sa dérivée seconde vaut −4 + 12x². Ainsi, . La courbe associée permet de repérer ses deux zéros et ses valeurs aux extrémités.
3. Contrôlons l'orthogonalité avec le polynôme constant P0(x) = 1 : .
4. Un second contrôle utilise l'équation de Legendre : avec y = (3x² − 1)/2, y' = 3x et y'' = 3, l'expression (1 − x²)y'' − 2xy' + 6y se réduit exactement à 0.
En pratique
Pour construire un polynôme d'indice donné, fixez d'abord α et β, puis appliquez Rodrigues. Pour les petits indices, le développement suivi de n dérivations donne directement le résultat. Pour un indice plus grand, gardez les puissances factorisées aussi longtemps que possible afin de limiter les termes intermédiaires.
Pour vérifier qu'un polynôme appartient à la famille attendue, substituez-le dans l'équation différentielle avec les mêmes paramètres et le même indice. Une expression non nulle signale une erreur de coefficient, de degré ou de normalisation.
Lorsque le poids doit être uniforme sur [−1, 1], le choix α = β = 0 conduit à Legendre. Lorsque le poids recherché est proportionnel à 1/√(1 − x²), le choix α = β = −1/2 conduit à Tchebychev, avec une normalisation à préciser.
À ne pas confondre
Polynôme de Jacobi et polynôme orthogonal quelconque. L'orthogonalité seule ne suffit pas : il faut ici l'intervalle [−1, 1] et le poids (1 − x)α(1 + x)β. Une famille orthogonale pour un autre poids n'est pas, pour cette seule raison, une famille de Jacobi.
Famille et formule de Rodrigues. La famille est l'ensemble des polynômes obtenus quand l'indice n varie ; Rodrigues est un procédé qui construit chacun d'eux. Pour n = 2 et α = β = 0, l'objet est (3x² − 1)/2, tandis que Rodrigues est le calcul qui y conduit.
Limites et pièges
Seuil des paramètres. Les conditions sont strictes : α > −1 et β > −1. Au seuil α = −1, par exemple, le poids contient 1/(1 − x) et l'intégrale du produit des polynômes constants diverge au voisinage de x = 1. Ce produit scalaire n'est donc plus défini sur tous les polynômes.
Poids singulier mais intégrable. Un paramètre compris strictement entre −1 et 0 fait diverger le poids à l'extrémité correspondante, sans faire diverger son intégrale. Il ne faut pas conclure d'un graphe vertical du poids que le produit scalaire est impossible ; il faut contrôler l'exposant.
Normalisation. Deux sources peuvent multiplier le même polynôme de Jacobi par des constantes non nulles différentes. L'orthogonalité et les zéros restent les mêmes, mais les valeurs comme Pn(1) changent. Comparez la formule de Rodrigues avant de comparer des coefficients.
Coefficient de l'équation. Avec la formule de Rodrigues affichée, le coefficient de xy' fait intervenir α + β + 2. Dans le cas α = β = 0 et n = 2, −2xy' donne bien l'annulation vérifiée dans l'exemple ; −xy' ne la donne pas.
Pour aller plus loin
polynômes orthogonaux — Replacer la famille de Jacobi parmi les familles dont les produits croisés s'annulent pour un poids donné.
formule de Rodrigues — Approfondir la construction par dérivation qui produit chaque polynôme de la famille.
produit scalaire — Relier l'intégrale pondérée à la notion générale d'orthogonalité.
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