AlgèbreNotion · Glossaire
Thebychev (polynômes de)
Sur l’intervalle [−1, 1], imaginez une courbe polynomiale dont les oscillations alternent et répartissent les écarts extrêmes. Les polynômes de Tchebychev exploitent cette structure pour construire des approximations attentives à la plus grande erreur. La fiche montre d’abord comment en calculer un, puis introduit progressivement la relation au cosinus, l’orthogonalité et la propriété de minimax dans les sections dédiées.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier T_n au cosinus et à la récurrence.
- Construire T_3 puis contrôler sa valeur en x = 1/2.
- Formuler sans abus l'orthogonalité et la propriété de minimax.
- Distinguer ces polynômes de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
En clair
Imaginez une courbe qui doit rester aussi proche que possible d'une autre sur tout l'intervalle de −1 à 1. Les polynômes de Tchebychev fournissent des courbes repères dont les oscillations atteignent alternativement la même hauteur et la même profondeur.
Cette alternance répartit l'écart au lieu de le concentrer dans une zone. Elle explique leur intérêt lorsque l'on surveille la plus grande erreur, et pas seulement une erreur moyenne. Leur lien avec le cosinus rend aussi leurs valeurs faciles à décrire.
Définition
Les polynômes de Tchebychev de première espèce forment une suite notée Tn, où l'indice entier n est le degré. Pour un réel x compris entre −1 et 1, on peut écrire x comme le cosinus d'un angle t. La définition devient alors . Elle donne notamment T0(x) = 1, T1(x) = x et la récurrence .
Deux polynômes de Tchebychev de première espèce Tm et Tn de degrés distincts sont orthogonaux sur [−1, 1] pour le poids : leur produit, multiplié par ce poids puis intégré sur l'intervalle, vaut zéro. Le poids devient infini aux extrémités, mais l'intégrale reste convergente.
La propriété de minimax se formule précisément ainsi : parmi les polynômes unitaires de degré n, avec n au moins égal à 1, le polynôme 21−nTn a la plus petite norme maximale sur [−1, 1]. Cette alternance d'écarts extrêmes fonde leur rôle en approximation polynomiale et en analyse numérique.
Un exemple, pas à pas
Construisons le polynôme T3. Les données sont T0(x) = 1, T1(x) = x et la récurrence Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x). Nous contrôlerons le résultat pour x = 1/2, qui est le cosinus de l'angle t = π/3.
1. Pour l'indice n = 1, la récurrence donne .
2. Pour l'indice n = 2, elle donne .
3. En x = 1/2, le calcul produit 4 × (1/2)3 − 3 × (1/2) = 1/2 − 3/2 = −1. La courbe de T3 alterne quatre valeurs extrêmes, −1, 1, −1 et 1, sur l'intervalle.
4. Le contrôle trigonométrique est indépendant du développement : T3(cos(π/3)) = cos(π) = −1. Les deux méthodes donnent donc la même valeur.
En pratique
Pour approcher une fonction sur tout un intervalle, on développe l'approximation dans la base des polynômes de Tchebychev. Ce choix est particulièrement adapté lorsque le critère observable est la plus grande erreur sur [−1, 1].
En calcul numérique, on ramène d'abord l'intervalle étudié à [−1, 1], puis on utilise la récurrence pour évaluer les termes. Pour un calcul symbolique de très petit degré, la base 1, x, x2 peut toutefois rester plus directe.
En analyse, l'identité avec le cosinus transforme certaines questions polynomiales en questions trigonométriques. Le contrôle de T3 en x = 1/2 illustre ce geste : une évaluation algébrique est vérifiée par un angle connu.
À ne pas confondre
Avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Les polynômes Tn sont des fonctions déterministes définies par une récurrence ou un cosinus. L'inégalité concerne des probabilités et une variance. Le calcul de T3(1/2) ne fait intervenir aucune variable aléatoire : il relève donc des polynômes.
Avec les polynômes de Tchebychev de seconde espèce. Ceux de première espèce vérifient Tn(cos t) = cos(nt). Ceux de seconde espèce, notés Un, obéissent à une autre identité et à un autre poids d'orthogonalité. La présence de Tn et du poids 1/√(1 − x2) tranche en faveur de la première espèce.
Avec un développement de Taylor. Une approximation de Tchebychev vise le comportement sur un intervalle entier. Un développement de Taylor organise l'information autour d'un point. Si le critère porte sur l'erreur maximale entre −1 et 1, le premier cadre est celui qui correspond à la question.
Limites et pièges
Aux extrémités. Le poids 1/√(1 − x2) n'a pas de valeur finie en x = −1 ou x = 1. Il ne faut pas conclure que l'orthogonalité échoue : l'intégrale impropre sur l'intervalle converge.
Hors de [−1, 1]. La définition par x = cos t avec un angle réel ne couvre plus |x| > 1, et l'orthogonalité annoncée ne s'y applique pas. On emploie alors la forme polynomiale ou une extension hyperbolique, sans conserver automatiquement les conclusions de l'intervalle.
Pour le minimax. Tn n'est pas, à lui seul, la meilleure approximation de toute fonction. L'énoncé exact compare les polynômes unitaires de même degré : pour n ≥ 1, c'est 21−nTn qui minimise la valeur maximale absolue sur [−1, 1].
Au degré zéro. La formule de normalisation précédente est réservée à n ≥ 1. Le cas charnière n = 0 se traite directement avec T0(x) = 1, sans lui appliquer le facteur 21−n.
Pour aller plus loin
Polynômes orthogonaux — Situer les polynômes de Tchebychev dans la famille définie par un produit scalaire et un poids.
Tchebychev Pafnouti — Relier le nom de la famille polynomiale au mathématicien auquel il renvoie.
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