AnalyseNotion · Glossaire
polynômes orthogonaux
Sur un intervalle, soit w un poids strictement positif dont tous les moments absolus sont finis, y compris celui d’ordre zéro. Des polynômes sont orthogonaux pour ce poids lorsque l’intégrale du produit de deux polynômes distincts, multiplié par w, est nulle. Le poids donne plus d’importance à certaines zones : l’orthogonalité exprime une compensation pondérée et permet de construire des bases efficaces pour l’approximation.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle conjoint du poids, de l’intervalle et du produit scalaire.
- Vérifier trois produits croisés pour les premiers polynômes de Legendre.
- Distinguer une famille orthogonale d’une famille orthonormale.
- Repérer les conditions d’intégrabilité et de positivité souvent oubliées.
En clair
Imaginez plusieurs courbes polynomiales tracées sur le même intervalle. On multiplie deux courbes point par point, puis on additionne ces produits sur tout l’intervalle. Certaines zones comptent davantage grâce à une fonction appelée poids.
Si les contributions positives et négatives s’équilibrent exactement, le résultat est nul : les deux polynômes sont orthogonaux pour ce poids. Cette orthogonalité dépend donc autant des polynômes que de l’intervalle et du poids choisis.
Définition
Soient deux polynômes réels f et g définis sur un intervalle ]a, b[, et soit w une fonction poids strictement positive et continue. Lorsque l’intégrale existe, leur produit scalaire pondéré est défini par . Les polynômes sont orthogonaux pour w si ce nombre est nul. Une famille est dite orthogonale lorsque chaque paire de polynômes distincts de la famille vérifie cette condition.
La condition d’intégrabilité est indispensable. Pour que tous les polynômes appartiennent à l’espace considéré, les moments nécessaires doivent être finis, y compris le moment d’ordre zéro pour le polynôme constant. La norme associée au produit scalaire est . Pour des fonctions à valeurs complexes, le produit contient en plus le conjugué de l’un des deux facteurs.
Le choix du poids et de l’intervalle change la famille obtenue. Les familles classiques citées dans la définition sont celles de Laguerre, d’Hermite, de Legendre et de Jacobi. Multiplier un membre par une constante non nulle conserve l’orthogonalité ; une convention de normalisation est donc nécessaire pour fixer une version unique.
Un exemple, pas à pas
Prenons les trois premiers polynômes de Legendre et vérifions directement leurs produits croisés.
Données. L’intervalle est ]−1, 1[, le poids vaut 1, et les polynômes sont , et .
1. Pour les deux premiers polynômes, la fonction intégrée est impaire : .
2. Pour le premier et le troisième, le calcul donne .
3. Le produit de P1 par P2 est encore impair, donc son intégrale sur l’intervalle symétrique est nulle. Les trois produits croisés valent ainsi zéro.
Contrôle. Aucun polynôme n’est nul : leurs normes au carré valent respectivement 2, 2/3 et 2/5. Le tracé associé rend visibles leurs formes différentes, tandis que l’orthogonalité se vérifie par les intégrales, non par l’absence d’intersections.
En pratique
Pour approcher une fonction sur un intervalle, on peut la décomposer suivant une famille orthogonale. Chaque coefficient se calcule séparément par un produit scalaire. Une base adaptée au même poids et au même intervalle évite de résoudre simultanément tous les coefficients.
Pour intégrer numériquement, certaines formules choisissent comme points les zéros d’un polynôme orthogonal. Le poids de la famille doit correspondre au facteur présent dans l’intégrale ; sinon, une autre famille ou une autre méthode d’intégration est préférable.
Dans un calcul symbolique, la méthode de Schmidt construit des polynômes orthogonaux à partir de 1, x, x2, puis des puissances suivantes. Le choix d’une normalisation dépend ensuite du résultat recherché : polynômes unitaires ou coefficient dominant fixé.
À ne pas confondre
Polynômes orthogonaux et polynômes sans racine commune. L’orthogonalité porte sur une intégrale pondérée, tandis que l’absence de racine commune porte sur leurs zéros. Les polynômes 1 et x sont orthogonaux sur ]−1, 1[ avec le poids 1, bien que le premier n’ait aucune racine.
Orthogonal et orthonormal. Une famille orthogonale exige seulement des produits croisés nuls. Elle est orthonormale si chaque polynôme a aussi une norme égale à 1. Dans l’exemple, P0 a une norme au carré égale à 2 : la famille présentée n’est donc pas orthonormale.
Orthogonalité des fonctions et perpendicularité de courbes. Deux graphes peuvent se couper à angle droit sans que leur produit scalaire soit nul. Inversement, sur ]−1, 1[, les graphes de P0 et P2 ne se coupent pas, mais leur intégrale pondérée vaut zéro ; ils se rencontrent seulement aux extrémités −1 et 1 si l’intervalle est fermé.
Limites et pièges
Le poids ou l’intervalle change. Un produit croisé nul dans un cadre peut devenir non nul dans un autre. Il faut recalculer le produit scalaire avec le poids et les bornes effectivement choisis, sans transférer automatiquement l’orthogonalité.
Le moment d’ordre zéro diverge. La convergence des moments d’ordre n ≥ 1 ne garantit pas toujours que l’intégrale du poids est finie. Dans ce cas, le polynôme constant n’appartient pas à l’espace ; il faut ajouter cette condition ou restreindre la famille.
La norme est écrite sans racine carrée. L’intégrale est le carré de la norme, pas la norme elle-même. Cette distinction compte notamment lors d’une normalisation à la valeur 1.
Une fonction poids s’annule ou change de signe. La formule bilinéaire peut encore être calculable, mais elle ne définit plus le produit scalaire positif du cadre annoncé. Il faut alors vérifier les hypothèses du nouveau cadre avant de parler de norme ou d’orthogonalité.
Pour aller plus loin
Le produit scalaire précise la structure qui transforme une intégrale pondérée en critère d’orthogonalité et en norme.
La méthode de Schmidt montre comment fabriquer une famille orthogonale à partir d’une famille de départ et d’un produit scalaire choisi.
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