AlgèbreMéthode · Glossaire
méthode de Schmidt
La méthode de Schmidt, souvent désignée sous le nom de procédé de Gram-Schmidt, est un algorithme permettant de construire un système orthonormé de vecteurs à partir d'une famille ordonnée de vecteurs linéairement indépendants d'un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Le procédé fonctionne par étapes : à chaque étape, on prend le vecteur suivant, on soustrait sa projection sur les vecteurs déjà orthonormalisés, puis on normalise le résultat. On obtient ainsi une base orthonormée du sous-espace engendré par les vecteurs initiaux, dont chaque vecteur est une combinaison linéaire de ceux-ci. Cette méthode est fondamentale en algèbre linéaire numérique, notamment pour la factorisation QR de matrices.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les conditions nécessaires à l'algorithme.
- Suivre projection, soustraction et normalisation sur deux vecteurs.
- Contrôler l'orthogonalité et la norme du résultat.
- Reconnaître dépendance linéaire et fragilité numérique.
En clair
Imaginez deux flèches qui indiquent presque la même direction. Pour fabriquer deux nouveaux axes bien perpendiculaires, on garde la direction de la première flèche. Sur la seconde, on retire ensuite toute la part qui va déjà dans cette direction. Le morceau restant est perpendiculaire au premier axe.
La méthode de Schmidt répète ce geste, puis ramène chaque nouvelle flèche à la longueur 1. Elle transforme ainsi des directions indépendantes, mais obliques et de longueurs variées, en directions orthonormées.
Définition
Le procédé de Gram-Schmidt s'applique à une famille ordonnée de vecteurs linéairement indépendants dans un espace muni d'un produit scalaire. Il construit, dans le même ordre, des vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux. Chaque nouveau vecteur ek est une combinaison linéaire de v1, …, vk, et les sous-espaces engendrés avant et après transformation sont les mêmes à chaque étape.
On note vk le k-ième vecteur donné et ej les vecteurs orthonormés déjà obtenus. Le résidu uk est ce qui reste de vk après retrait de ses projections : . Si ce résidu n'est pas nul, sa normalisation donne .
Une famille initiale linéairement indépendante fournit autant de vecteurs orthonormés et donc une base orthonormée de son sous-espace engendré. Si un résidu est nul, le vecteur correspondant dépend des précédents : il faut l'écarter pour obtenir une base de l'espace effectivement engendré. Appliqué aux colonnes indépendantes d'une matrice, le procédé conduit à une factorisation QR.
Le principe
Soit une famille ordonnée de vecteurs linéairement indépendants v1, …, vn dans un espace muni d'un produit scalaire. Le procédé s'arrête après n étapes et produit une famille orthonormée e1, …, en qui engendre le même sous-espace.
À l'étape k :
1. retrancher à vk sa projection sur chacun des vecteurs e1, …, ek−1 ;
2. appeler uk le résidu obtenu ;
3. diviser uk par sa norme pour obtenir ek.
1. retrancher à vk sa projection sur chacun des vecteurs e1, …, ek−1 ;
2. appeler uk le résidu obtenu ;
3. diviser uk par sa norme pour obtenir ek.
Quand l'utiliser
La méthode demande un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, car les projections et les normes en dépendent. La famille à traiter doit être ordonnée. Pour obtenir un vecteur orthonormé à chaque étape, elle doit aussi être linéairement indépendante : chaque résidu doit avoir une norme strictement positive.
Un contre-cas se voit avec v2 = 2v1. Après retrait de la projection de v2 sur la direction de v1, le résidu vaut zéro et ne peut pas être normalisé. Si le but est de construire une base du sous-espace engendré, on écarte v2. Si deux directions sont requises, il faut fournir un vecteur indépendant.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan muni du produit scalaire usuel, partons des vecteurs v1 = (1, 1) et v2 = (1, 0). Ils sont indépendants. Nous allons conserver leur sous-espace, ici tout le plan, tout en fabriquant deux directions perpendiculaires de longueur 1.
1. La norme de v1 vaut √2. Le premier vecteur unitaire est donc .
2. La projection de v2 sur e1 vaut (1/2, 1/2). La soustraction se lit géométriquement : le résidu relie l'extrémité de cette projection à celle de v2, à angle droit avec la première direction.
3. On calcule le résidu . Sa norme vaut 1/√2.
4. Après normalisation, on obtient .
5. Le contrôle est refaisable : le produit scalaire de e1 et e2 vaut 0, tandis que chacune de leurs normes vaut 1. Les deux vecteurs forment donc une base orthonormée du plan.
En pratique
Pour un calcul à la main sur quelques vecteurs, la méthode donne une marche directe : projection, soustraction, puis normalisation. Si une projection est déjà fournie géométriquement, on peut partir de cette information au lieu de recalculer tous les produits scalaires.
Pour factoriser une matrice à colonnes indépendantes, les vecteurs orthonormés deviennent les colonnes de Q. Les coefficients des projections et les normes des résidus remplissent R. Le contrôle observable est alors que Q possède des colonnes orthonormées et que le produit QR redonne la matrice initiale.
Dans un calcul numérique, un résidu presque nul signale des directions presque dépendantes. La variante modifiée de Gram-Schmidt ou une méthode de Householder est alors préférable si l'orthogonalité calculée se dégrade sous l'effet des arrondis.
À ne pas confondre
Famille orthogonale et famille orthonormée. Dans les deux cas, deux vecteurs distincts ont un produit scalaire nul. Une famille n'est orthonormée que si chaque vecteur a aussi pour norme 1. Les vecteurs (1, 1) et (1, −1) sont orthogonaux, mais pas orthonormés.
Projection orthogonale et procédé de Gram-Schmidt. La projection est une opération utilisée à chaque étape suivant la première. Pour une famille comportant au moins deux vecteurs, le procédé complet enchaîne projections, soustractions et normalisations afin de transformer toute la famille.
Procédé de Gram-Schmidt et factorisation QR. Le premier agit sur une famille ordonnée de vecteurs. La seconde écrit une matrice comme un produit QR. Quand les vecteurs sont les colonnes d'une matrice, Gram-Schmidt est une manière de construire ses facteurs Q et R.
Limites et pièges
Résidu exactement nul. Le vecteur traité est une combinaison linéaire des précédents. La normalisation demanderait une division par 0 : il faut écarter ce vecteur ou remplacer la donnée si une direction supplémentaire est nécessaire.
Résidu presque nul. En arithmétique approchée, le seuil pertinent dépend de la précision et de l'échelle des données. Le symptôme est une perte d'orthogonalité après division par une très petite norme. Il faut employer un seuil relatif et une procédure numériquement plus stable.
Ordre des vecteurs. Permuter la famille initiale peut changer les vecteurs orthonormés obtenus, même si le sous-espace final reste le même. Il faut donc conserver l'ordre prescrit et ne pas comparer terme à terme deux résultats produits dans des ordres différents.
Choix du produit scalaire. Les angles, les projections et les normes dépendent du produit scalaire choisi. Deux calculs menés avec des produits scalaires différents peuvent donner des bases différentes ; il faut annoncer ce choix avant d'appliquer le procédé.
Pour aller plus loin
Le produit scalaire précise l'opération qui mesure l'orthogonalité et calcule chaque coefficient de projection.
L'espace vectoriel présente le cadre dans lequel combinaisons linéaires, indépendance et bases prennent leur sens.
La norme explique la longueur utilisée pour ramener chaque résidu non nul à une longueur égale à 1.
La matrice orthogonale prolonge l'étude des colonnes orthonormées qui constituent le facteur Q dans le cas réel carré.
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