AlgèbreMéthode · Glossaire
QR (décomposition)
La décomposition QR d'une matrice A de m lignes et n colonnes est sa factorisation sous la forme A = QR. Dans la forme réduite, avec m supérieur ou égal à n, Q a m lignes, n colonnes et des colonnes orthonormées, tandis que R est une matrice carrée triangulaire supérieure de taille n. Dans la forme complète, Q est une matrice carrée orthogonale (ou unitaire dans le cas complexe) de taille m et R est une matrice de m lignes et n colonnes, triangulaire supérieure ou trapézoïdale. Elle est calculée par le procédé de Gram-Schmidt orthogonalisé ou par des rotations de Givens ou des réflexions de Householder. La décomposition QR est fondamentale en analyse numérique pour résoudre des systèmes linéaires, calculer des valeurs propres et résoudre des problèmes de moindres carrés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle orthonormé de Q et la structure triangulaire de R.
- Refaire une décomposition QR 2 × 2 par Gram-Schmidt et vérifier le produit.
- Reconnaître les hypothèses de rang, les ambiguïtés de signe et les principaux usages numériques.
En clair
Prenons deux flèches données par les colonnes d’une matrice. Elles peuvent être obliques et de longueurs différentes. La décomposition QR remplace ces directions par des axes perpendiculaires de longueur 1, rangés dans Q. Elle consigne dans R les longueurs et les projections nécessaires pour retrouver les flèches initiales.
Pour les colonnes (1, 1) et (1, 0), Q fournit ainsi deux directions à angle droit. En multipliant Q par R, on reconstruit exactement les deux colonnes de départ : l’information n’est pas perdue, elle est réorganisée.
Définition
Soit A une matrice réelle de m lignes et n colonnes, avec m supérieur ou égal à n et des colonnes linéairement indépendantes. Sa décomposition QR réduite écrit A comme le produit de Q, une matrice de m lignes et n colonnes dont les colonnes sont orthonormées, et de R, une matrice carrée triangulaire supérieure de taille n. La transposée QT vérifie QTQ = In, où In est la matrice identité.
Pour une matrice carrée réelle, Q est orthogonale. Dans la forme carrée complexe, Q est unitaire ; dans la forme réduite, ses colonnes sont orthonormées pour le produit hermitien, et la transposée est remplacée par la transposée conjuguée. Une décomposition complète emploie une matrice Q carrée et une matrice R triangulaire supérieure ou trapézoïdale. Si A est de rang plein et si la diagonale de R est choisie positive, la décomposition réduite est unique. Gram-Schmidt construit successivement les colonnes de Q ; les réflexions de Householder et les rotations de Givens réalisent la même factorisation.
Le principe
Si les colonnes a1, …, an d’une matrice réelle A sont linéairement indépendantes, alors Gram-Schmidt donne sa décomposition QR réduite. À l’étape k, on retire de ak ses projections sur les directions q1, …, qk−1 déjà construites. On normalise le résidu non nul pour obtenir qk. Les coefficients de projection et les normes remplissent R ; l’opération s’arrête après la n-ième colonne, avec A = QR.
Quand l'utiliser
La forme réduite avec R carrée et inversible s’applique à une matrice A ayant au moins autant de lignes que de colonnes et des colonnes linéairement indépendantes. Il faut connaître tous les coefficients de A. On obtient alors une base orthonormée des colonnes de A dans Q et les coordonnées triangulaires correspondantes dans R.
Si deux colonnes sont identiques, le résidu de la seconde vaut le vecteur nul : sa normalisation est impossible et R n’est pas inversible. Une factorisation QR reste possible sous une forme adaptée au rang, mais l’unicité précédente disparaît. En calcul numérique, une QR avec pivotement ou une décomposition en valeurs singulières aide alors à révéler le rang. Pour une matrice ayant plus de colonnes que de lignes, il faut employer une forme rectangulaire appropriée plutôt que cette QR réduite.
Un exemple, pas à pas
On factorise la matrice réelle A dont la première colonne est a1 = (1, 1) et la seconde a2 = (1, 0). Ces deux colonnes sont indépendantes.
Étape 1. La norme de a1 vaut √2. La première direction unitaire est donc q1 = (1/√2, 1/√2), et le premier coefficient diagonal vaut r11 = √2.
Étape 2. La projection de a2 sur q1 a pour coefficient r12 = q1Ta2 = 1/√2. Le résidu est u2 = a2 − r12q1 = (1/2, −1/2). Les directions initiales et les deux axes orthonormés permettent de suivre cette réorganisation géométrique.
Étape 3. La norme de u2 vaut 1/√2. On obtient q2 = (1/√2, −1/√2) et r22 = 1/√2.
Étape 4. On assemble les résultats :
Le contrôle est direct : QTQ = I2. Le produit QR redonne d’abord (1, 1), puis (1, 0) ; il est donc exactement égal à A.
En pratique
Pour ajuster un modèle par moindres carrés avec une matrice A de rang colonne plein, on utilise sa QR réduite puis on résout le système triangulaire carré Rx = QTb. Si le rang paraît incertain, la décomposition en valeurs singulières est préférable parce qu’elle rend les directions presque perdues plus visibles.
Pour résoudre un système linéaire carré inversible, QR transforme le problème en une multiplication par QT, puis en une remontée dans R. Une factorisation LU demande généralement moins d’opérations ; QR devient attractive lorsque l’orthogonalité ou la stabilité du calcul est décisive.
Pour approcher toutes les valeurs propres d’une matrice dense, l’algorithme QR répète des factorisations et inverse l’ordre des facteurs. Si seule une petite partie du spectre d’une grande matrice creuse est cherchée, des méthodes itératives spécialisées sont souvent plus adaptées.
À ne pas confondre
Décomposition QR et code QR. La première factorise une matrice numérique en deux facteurs ; le second est un motif carré qui encode des données. Une égalité A = QR désigne la décomposition QR lorsque Q a des colonnes orthonormées et que R a la forme triangulaire supérieure ou trapézoïdale appropriée.
Décomposition QR et décomposition LU. QR impose des colonnes orthonormées à Q et une forme triangulaire à R. Avec pivotement de lignes, LU s’écrit généralement PA = LU, où P est une matrice de permutation, L un facteur triangulaire inférieur et U un facteur triangulaire supérieur ; l’écriture directe A = LU suppose que l’élimination soit possible sans échange de lignes. La vérification QTQ = I établit l’orthonormalité des colonnes de Q, mais elle doit être complétée par A = QR et par la forme requise de R pour identifier une décomposition QR.
Décomposition QR et diagonalisation. Dans QR, R est triangulaire et Q n’est pas en général une matrice de vecteurs propres. Une matrice diagonalisable s’écrit A = PDP−1, avec les vecteurs propres dans P. On parle de décomposition spectrale avec une base orthonormée de vecteurs propres lorsque A est symétrique dans le cas réel, ou normale dans le cas complexe.
Limites et pièges
Signe non fixé. Remplacer une colonne de Q par son opposée et la ligne correspondante de R par son opposée conserve le produit QR. Pour obtenir l’unicité lorsque A est de rang plein, on impose des coefficients diagonaux de R strictement positifs.
Perte de rang. Le cas charnière exact est rkk = 0 : le k-ième résidu ne peut plus être normalisé. En virgule flottante, un coefficient très petit devant la norme de A joue le même rôle ; il faut tester une tolérance relative et envisager un pivotement ou une décomposition en valeurs singulières.
Gram-Schmidt classique en précision finie. Des colonnes presque dépendantes peuvent produire des vecteurs qk qui ne sont plus assez orthogonaux. Le symptôme est un QTQ sensiblement différent de l’identité ; Gram-Schmidt modifié ou les réflexions de Householder limitent ce défaut.
Forme de R. Dire que R est triangulaire supérieure suppose la forme carrée ou réduite appropriée. Pour une matrice rectangulaire en décomposition complète, R peut être trapézoïdale ; il faut annoncer les dimensions avant d’appliquer une formule de résolution.
Pour aller plus loin
matrice orthogonale — Pour approfondir la propriété QTQ = I et ses conséquences sur les longueurs et les angles.
Algorithme de Gram-Schmidt — Pour détailler la construction successive des directions orthonormées utilisées dans la factorisation.
valeur propre — Pour relier l’itération QR au problème spectral qu’elle aide à résoudre.
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