AlgèbreMéthode · Glossaire
décomposition d'Iwasawa
La décomposition d’Iwasawa affirme que toute matrice carrée réelle inversible se factorise de façon unique en produit d’une matrice orthogonale, d’une matrice diagonale à coefficients strictement positifs et d’une matrice triangulaire supérieure à diagonale unité. Elle sépare ainsi transformation orthogonale, mise à l’échelle et cisaillement, ce qui la rend utile notamment pour étudier les groupes de Lie et l’analyse harmonique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle exact des facteurs K, D et T.
- Construire la décomposition depuis une factorisation QR normalisée.
- Vérifier un exemple 2 × 2 en arithmétique exacte.
- Reconnaître les conditions d’unicité et les principaux pièges.
En clair
Imaginez une grille carrée que l’on déforme sans l’aplatir. Une matrice inversible peut combiner trois gestes : faire glisser une ligne parallèlement à elle-même, étirer les axes, puis tourner ou réfléchir l’ensemble. La décomposition d’Iwasawa sépare précisément ces gestes.
Le facteur triangulaire T porte les cisaillements, le facteur diagonal positif D porte les changements d’échelle et le facteur orthogonal K préserve les longueurs et les angles. L’ordre compte : sur un vecteur, T agit d’abord, puis D, puis K.
Définition
Soit M une matrice carrée réelle inversible d’ordre n. Sa décomposition d’Iwasawa est l’unique factorisation dans laquelle K est orthogonale, D est diagonale à coefficients strictement positifs et T est triangulaire supérieure avec des 1 sur toute sa diagonale. Dire que K est orthogonale signifie que son inverse est sa transposée.
Cette écriture se déduit de la décomposition QR normalisée. On écrit d’abord M = KR, avec K orthogonale et R triangulaire supérieure à diagonale positive. La matrice D rassemble les coefficients diagonaux de R ; la matrice T, égale à D−1R, a alors une diagonale unité. La positivité de D fixe les ambiguïtés de signe et assure l’unicité.
Dans l’action sur les vecteurs-colonnes, le produit se lit de droite à gauche : T effectue les cisaillements, D change les échelles, puis K effectue une transformation orthogonale. Celle-ci peut être une rotation, une réflexion ou leur combinaison ; le mot « rotationnelle » décrit donc une intuition, pas toujours une rotation au sens strict.
Le principe
Si M est une matrice carrée réelle inversible, alors il existe un unique triplet (K, D, T) tel que , avec K orthogonale, D diagonale strictement positive et T triangulaire supérieure à diagonale unité.
Pour le construire, on calcule la décomposition QR de M en imposant une diagonale positive à R. On prend ensuite pour D la diagonale de R, puis on calcule T = D−1R. Le calcul s’arrête lorsque le produit KDT redonne M.
Quand l'utiliser
La matrice de départ doit être réelle, carrée et inversible. Ces conditions garantissent une décomposition QR carrée dont tous les coefficients diagonaux de R sont non nuls. En choisissant ces coefficients positifs, D devient strictement positive et T est bien définie.
Une matrice carrée singulière fournit un contre-cas concret : au moins un pivot de R s’annule, D n’est plus inversible et D−1R ne peut pas produire le facteur demandé. Il faut alors employer une factorisation QR adaptée au rang, éventuellement avec pivotement, mais ce n’est plus la décomposition d’Iwasawa unique énoncée ici. Une matrice rectangulaire relève également de QR, pas de cette forme carrée KDT.
Un exemple, pas à pas
Prenons la matrice réelle inversible M dont les colonnes sont les vecteurs (1, 1) et (1, 2). Son déterminant vaut 1. Les données sont donc les deux colonnes, leur ordre et la convention d’une diagonale positive.
1. Normalisez la première colonne : sa longueur vaut √2, donc le premier vecteur orthonormé est (1/√2, 1/√2).
2. Retirez à la seconde colonne sa projection sur la première, puis normalisez le reste : on obtient (−1/√2, 1/√2).
3. Ces deux vecteurs forment les colonnes de K. Le calcul QR donne alors :
2. Retirez à la seconde colonne sa projection sur la première, puis normalisez le reste : on obtient (−1/√2, 1/√2).
3. Ces deux vecteurs forment les colonnes de K. Le calcul QR donne alors :
4. Séparez la diagonale positive de R. On obtient les deux derniers facteurs :
Le résultat est M = KDT. Le contrôle est direct : DT = R, puis KDT redonne exactement les colonnes (1, 1) et (1, 2). La figure rend visible la transformation successive du carré unité par ces trois facteurs.
En pratique
Pour calculer les facteurs, on utilise en pratique un algorithme QR numériquement stable, puis on sépare la diagonale de R. Un procédé fondé sur les réflexions de Householder est généralement préféré au Gram-Schmidt classique lorsque les colonnes sont presque dépendantes.
En théorie des groupes de Lie, la factorisation sépare une transformation en composantes orthogonale, diagonale positive et triangulaire unipotente. Cette lecture est utile quand un problème traite différemment les symétries, les changements d’échelle et les cisaillements.
Pour résoudre directement un système linéaire, une factorisation LU peut être plus économique. La forme KDT devient préférable lorsque la stabilité orthogonale ou l’interprétation géométrique des trois composantes est l’information recherchée.
À ne pas confondre
La décomposition QR écrit M = QR avec un seul facteur triangulaire R. La décomposition d’Iwasawa sépare encore R en D et T. Dans l’exemple, R a pour diagonale √2 et 1/√2, tandis que T a deux 1 sur sa diagonale.
La décomposition polaire écrit une matrice inversible comme le produit d’une matrice orthogonale et d’une matrice symétrique définie positive. Le test est immédiat : son second facteur est symétrique, alors que DT est en général triangulaire supérieure et non symétrique.
La décomposition LU sépare une matrice en facteurs triangulaires inférieur et supérieur, parfois avec une permutation. Elle n’impose aucun facteur orthogonal. Une matrice dont on veut isoler les changements de repère orthogonaux appelle donc QR ou Iwasawa, et non LU.
Limites et pièges
La positivité de D n’est pas décorative. Si les signes de sa diagonale sont libres, on peut transférer un signe entre K et D et perdre l’unicité. Il faut donc normaliser la diagonale de R avant de séparer D et T.
Lorsque le déterminant de M est négatif, K a lui aussi un déterminant négatif, car D et T ont un déterminant positif. K comporte alors une réflexion : le décrire comme une pure rotation serait faux. Dans l’exemple, le déterminant vaut 1 et K est bien une rotation.
À l’approche de la singularité, un coefficient diagonal de R devient très petit. Le facteur D−1 amplifie alors les erreurs d’arrondi dans T, même si la factorisation existe encore en arithmétique exacte. Il faut contrôler le conditionnement et privilégier un calcul QR stable.
L’ordre KDT dépend de l’action sur des vecteurs-colonnes. Le lire comme trois opérations de gauche à droite inverse le mécanisme géométrique. Pour appliquer M à un vecteur, on calcule d’abord T, ensuite D, enfin K.
Pour aller plus loin
La décomposition QR montre l’étape dont dérive directement la forme KDT : le facteur triangulaire R y est ensuite séparé en une diagonale positive et une partie unipotente.
La notion de matrice orthogonale précise pourquoi K conserve longueurs et angles, tout en autorisant aussi bien les rotations que les réflexions.
Le groupe de Lie fournit le cadre dans lequel cette factorisation matricielle devient la décomposition structurelle d’un groupe en trois sous-groupes complémentaires.
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