Orthonormale (famille)

Imaginez deux flèches partant du même point : l'une monte vers la droite à 45° de l'horizontale, l'autre descend vers la droite à 45°. Leurs directions sont perpendiculaires : elles forment un angle droit. Si chacune mesure exactement une unité, elles constituent une famille orthonormale.

Ces directions servent de repères indépendants et calibrés. Pour décrire un autre vecteur, on mesure sa part dans chaque direction. Comme les directions ne se mélangent pas et ont la même échelle, les coordonnées et les projections se calculent directement.

Dans un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire, une famille de vecteurs est orthonormale, ou orthonormée, lorsque deux conditions sont réunies. Deux vecteurs distincts de la famille ont un produit scalaire nul. Chaque vecteur a une norme égale à 1. En notant les vecteurs e_i, ces conditions se condensent ainsi : $⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}\backslash langle\; e\_i,e\_j\backslash rangle=\backslash delta\_\{ij\}$, où le symbole δ_ij vaut 1 si les indices i et j sont égaux, et 0 sinon.

Une famille orthonormale n'est pas nécessairement assez grande pour décrire tout l'espace. Dans un espace de Hilbert, elle devient une base hilbertienne lorsqu'elle est totale : l'adhérence de l'espace engendré par ses vecteurs est l'espace entier. En dimension finie, cette totalité revient à engendrer tout l'espace. En dimension infinie, elle autorise des développements convergents, pas forcément des sommes finies.

Une famille orthogonale de vecteurs non nuls devient orthonormale en divisant chaque vecteur par sa norme. Le procédé de Gram-Schmidt étend cette idée : appliqué dans un ordre fixé à une famille linéairement indépendante, il construit des vecteurs orthogonaux, puis les normalise, tout en conservant les sous-espaces successivement engendrés.

Dans le plan ℝ² muni du produit scalaire usuel, prenons les vecteurs u = (1, 1) et v = (1, −1), puis le vecteur x = (3, 1) à décomposer. Les données sont donc les quatre coordonnées de u et v, ainsi que les deux coordonnées de x.

1. Le produit scalaire de u et v vaut 1 × 1 + 1 × (−1) = 0. Les deux vecteurs sont orthogonaux.

2. Les deux normes valent √2. On obtient donc les vecteurs unitaires e₁ = (1/√2, 1/√2) et e₂ = (1/√2, −1/√2). La figure matérialise leur angle droit et leur longueur commune.

3. Les coordonnées de x dans cette base sont ses produits scalaires avec les deux vecteurs : $⟨x,e_1⟩=2\sqrt{2}\backslash langle\; x,e\_1\backslash rangle=2\backslash sqrt\{2\}$ et $⟨x,e_2⟩=\sqrt{2}\backslash langle\; x,e\_2\backslash rangle=\backslash sqrt\{2\}$.

4. La reconstruction donne $x=2\sqrt{2}{e}_1+\sqrt{2}{e}_2=(3,1)x=2\backslash sqrt\{2\}e\_1+\backslash sqrt\{2\}e\_2=(3,1)$. Le résultat est bien le vecteur annoncé. Le contrôle consiste à refaire les deux composantes : 2 + 1 = 3 et 2 − 1 = 1.

Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, une base orthonormale permet de prendre directement ses produits scalaires avec les vecteurs de base. Avec une base quelconque, il faut plutôt résoudre un système linéaire ou utiliser la base duale.

Pour projeter un vecteur sur un sous-espace engendré par une famille orthonormale finie, on additionne ses composantes dans les directions de cette famille. En dimension infinie, la projection porte sur l'adhérence du sous-espace engendré et s'obtient par la série convergente de ces composantes. Cette écriture est préférable lorsqu'une famille orthonormale du sous-espace est disponible ; sinon, une orthonormalisation préalable évite les termes croisés.

Dans un calcul numérique, Gram-Schmidt transforme des directions indépendantes en repère orthonormal. La variante choisie compte lorsque les vecteurs sont presque dépendants : une version numériquement plus stable est alors préférable au procédé classique effectué sans précaution.

Famille orthogonale. Ses vecteurs distincts sont perpendiculaires, mais leur norme peut différer de 1. Ainsi, (2, 0) et (0, 3) sont orthogonaux sans former une famille orthonormale.

Base algébrique. Chaque vecteur s'y écrit comme une combinaison linéaire finie et unique. Une base hilbertienne décrit plutôt les vecteurs par une limite de combinaisons finies ; en dimension infinie, les deux notions ne coïncident pas.

Matrice orthogonale réelle. C'est une matrice carrée dont les colonnes, et aussi les lignes, forment une famille orthonormale. Une famille orthonormale incomplète placée en colonnes d'une matrice rectangulaire ne rend donc pas cette matrice « orthogonale » au sens usuel.

Le vecteur nul bloque la normalisation. Sa norme vaut 0, donc la division par la norme est impossible. Il faut retirer ce vecteur avant de chercher une famille orthonormale.

Orthonormale ne signifie pas totale. Dans ℝ³, la famille réduite au vecteur (1, 0, 0) est orthonormale, mais elle ne décrit que son axe. Il faut vérifier que l'espace engendré, ou son adhérence en dimension infinie, remplit l'espace visé.

Gram-Schmidt dépend de l'ordre. Des vecteurs d'entrée permutés peuvent produire des vecteurs orthonormaux différents. Si une étape donne le vecteur nul, les données sont linéairement dépendantes ; il faut supprimer la direction redondante plutôt que tenter de la normaliser.

Le produit scalaire fixe la géométrie. Une même famille peut être orthonormale pour un produit scalaire et ne plus l'être pour un autre. Toute vérification doit donc utiliser le produit scalaire déclaré dans l'espace considéré.

Le produit scalaire donne le critère qui mesure l'orthogonalité et la norme de chaque vecteur.

La projection montre comment extraire la composante d'un vecteur portée par une direction ou un sous-espace.

L'espace de Hilbert fournit le cadre complet où une famille orthonormale totale devient une base hilbertienne.