GéométrieNotion · Glossaire
projection
Le terme « projection » recouvre des notions différentes selon le domaine considéré (mathématiques, cartographie, optique, infographie, etc.). En géométrie, on note que le même mot désigne à la fois l'application (le projecteur) et son résultat (l'image). En géométrie plane, la projection sur une droite D suivant une direction d est l'application qui associe à tout point A du plan le point A' défini ainsi : si A appartient à D, alors A' = A ; sinon, A' est le point de D tel que la droite (AA') soit parallèle à d. En géométrie dans l'espace, cette définition se généralise : la projection sur un plan P parallèlement à une direction d associe à chaque point de l'espace son projeté sur P selon la direction d. En algèbre linéaire, un projecteur est un endomorphisme f d'un espace vectoriel tel que f ∘ f = f (endomorphisme idempotent) ; dans ce cadre, la projection correspond à la décomposition d'un espace en une somme directe de sous-espaces.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire le projeté d'un point sur une droite suivant une direction.
- Refaire un calcul de projection oblique et contrôler le résultat.
- Relier l'idempotence d'un projecteur à la somme directe de son image et de son noyau.
- Distinguer projection, projeté, projection oblique et projection orthogonale.
En clair
Imaginez un point dessiné au-dessus d'une droite. Faites passer par ce point une ligne parallèle à une direction choisie. L'endroit où cette ligne rencontre la droite est le projeté du point. La projection est le geste qui envoie chaque point vers ce résultat.
La direction compte : un même point peut avoir des projetés différents si elle change. En revanche, un point déjà placé sur la droite ne bouge pas. Projeter une seconde fois ne le déplace donc plus.
Définition
Dans le plan, soit D la droite cible et d la direction choisie. La projection associe à un point A le point A' situé sur D, de sorte que la droite passant par A et A' soit parallèle à d. Si A appartient déjà à D, alors A' = A. Pour que cette construction détermine un unique projeté pour tout point, la direction d ne doit pas être parallèle à D. Lorsque d est perpendiculaire à D, la projection est dite orthogonale ; sinon, elle est oblique.
Dans l'espace, la droite cible est remplacée par un plan P. La droite menée par le point selon d doit rencontrer P en un point unique ; la direction d ne doit donc pas être contenue dans P. Le mot « projection » peut désigner l'application entière ou l'image obtenue, selon le contexte.
En algèbre linéaire, un projecteur est un endomorphisme, c'est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même, noté f et vérifiant . Cette identité exprime qu'une seconde projection ne change rien. L'espace se décompose alors en somme directe de l'image de f et de son noyau : .
Un exemple, pas à pas
Dans un repère, prenons comme droite cible D l'axe horizontal. Le point à projeter est A = (3 ; 4), et la direction d est donnée par le vecteur (1 ; −2). La figure matérialise la droite parallèle à d qui relie A à son projeté sur D.
1. Un point de la droite menée par A suivant d a pour coordonnées (3 + t ; 4 − 2t), où le nombre t mesure le déplacement dans cette direction.
2. Le point atteint D lorsque sa seconde coordonnée vaut 0 : 4 − 2t = 0.
3. On obtient t = 2, puis 3 + t = 5.
4. Le projeté est donc A' = (5 ; 0).
2. Le point atteint D lorsque sa seconde coordonnée vaut 0 : 4 − 2t = 0.
3. On obtient t = 2, puis 3 + t = 5.
4. Le projeté est donc A' = (5 ; 0).
La projection correspondante envoie ainsi tout point de coordonnées (x ; y) sur le point de coordonnées (x + y/2 ; 0). Pour A, elle donne bien (3 + 4/2 ; 0) = (5 ; 0).
Le contrôle consiste à projeter A' une seconde fois : (5 + 0/2 ; 0) = (5 ; 0). Le point reste fixe, conformément à l'identité d'un projecteur.
En pratique
En géométrie plane, on trace par le point une parallèle à la direction imposée, puis on repère son intersection avec la droite cible. Si l'énoncé exige une direction perpendiculaire, on choisit plutôt la projection orthogonale.
En algèbre linéaire, on vérifie qu'une application f est un projecteur en calculant deux applications successives. Si f ∘ f diffère de f, il faut parler d'un autre endomorphisme, pas d'un projecteur.
En cartographie, en optique ou en infographie, le même mot apparaît dans d'autres cadres. Avant de transférer une propriété géométrique ou algébrique, on identifie donc la cible, la direction et le sens précis donné au terme.
À ne pas confondre
La projection et le projeté. La projection est l'application qui agit sur tous les points ; le projeté est l'image d'un point donné. Dans l'exemple, la règle (x ; y) ↦ (x + y/2 ; 0) est la projection, tandis que A' = (5 ; 0) est le projeté de A.
Projection oblique et projection orthogonale. Le critère est l'angle entre la direction et la droite cible. Avec d = (1 ; −2), A se projette en (5 ; 0) : la projection est oblique. Une direction verticale, perpendiculaire à D, donnerait (3 ; 0).
Projecteur géométrique et projecteur algébrique. Le premier décrit une construction par droites parallèles ; le second est un endomorphisme idempotent. Pour la règle de l'exemple, les deux lectures coïncident, mais le contexte indique laquelle est employée.
Limites et pièges
Direction parallèle à la cible. Si d est parallèle à D et si A n'appartient pas à D, la droite menée par A ne rencontre jamais D. Le symptôme est l'absence de projeté ; il faut choisir une direction non parallèle.
Direction contenue dans le plan cible. Dans l'espace, une droite suivant une direction contenue dans P ne fournit pas une intersection unique avec P pour chaque point. Il faut imposer une direction transverse au plan.
Idempotent ne signifie pas orthogonal. La règle (x ; y) ↦ (x + y/2 ; 0) vérifie bien deux applications successives identiques à une seule, tout en projetant suivant (1 ; −2). Il faut contrôler la direction, et pas seulement l'identité f ∘ f = f.
Pour aller plus loin
La lente émergence des espaces euclidiens. Cet article replace l'orthogonalité dans la construction des espaces euclidiens, cadre naturel des projections orthogonales.
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