Dans la nomenclature, l'adjectif affine désigne tout ce qui touche aux notions de droites et de plans mais exclut ce qui concerne les distances, les angles et donc l'orthogonalité. Ces dernières notions sont qualifiées d'euclidiennes, du nom du célèbre mathématicien grec. Les premières sont parfaitement modélisées dans le cadre des espaces vectoriels. Pour les secondes, il faut attacher, à un couple de vecteurs, un nombre appelé « produit scalaire ». Comment le fait-on ?
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Produit scalaire et norme -------------------------
La notion de produit scalaire est mise en évidence par William Hamilton dans le cadre des quaternions, nombres en dimension 4 qu'il a introduits en 1843. Peu après, des mathématiciens de l'école de physique mathématique britannique comme James Clerk Maxwell, Oliver Heaviside ou Josiah Willard Gibbs ont préféré le définir à l'aide de coordonnées. Plaçons-nous dans l'espace de dimension 3 des triplets de réels. Notons u = (x, y, z) et v = (x', y', z') deux d'entre eux. Le produit scalaire est défini par (u | v) = xx' + yy' + zz'. Un calcul élémentaire montre que (u | v) = (v | u), que (u1+u2|v) = (u1| v) + (u2| v) et que, pour tout réel λ, (λu | v) = λ(u | v). La première propriété s'appelle la symétrie et les deux dernières la linéarité par rapport à la première variable (celle par rapport à la deuxième variable se déduit immédiatement grâce à la symétrie). On peut bien sûr calculer le produit scalaire d'un vecteur par lui-même ; on trouve (u | u) = x2 + y2 + z2. On constate que cette quantité est toujours positive, et même strictement positive dès que le vecteur u n'est pas nul. On reconnaît même la formule du carré de la distance. C'est pourquoi la racine carrée de cette quantité s'appelle la norme de u ; on la note N(u) ou || u ||.
Cette approche n'est cependant pas tout à fait satisfaisante puisqu'elle est définie sur les triplets de scalaires et non sur un espace vectoriel E quelconque. Si E est de dimension finie, on pourrait prendre une base B et se ramener au cas présenté, mais B jouerait alors un rôle privilégié ; que se passerait-il si on en changeait ? D'autre part, ceci exclut les espaces vectoriels de dimension infinie qui, comme on le verra (en encadré), peuvent être aussi dotés de telles structures. Aussi définit-on une application f qui associe à deux vecteurs u et v un nombre réel f (u, v), possédant les propriétés de linéarité par rapport à la première variable et de symétrie, et qui vérifie f (u, u) > 0 si u n'est pas nul. Le scalaire f (u, v), noté (u | v) ou plus simplement u.v, s'appelle le produit scalaire des vecteurs u et v.