GéométrieNotion · Glossaire
Projeté orthogonal
Le projeté orthogonal d'un vecteur v sur un sous-espace vectoriel F d'un espace euclidien est le vecteur p de F le plus proche de v, au sens de la norme euclidienne. Le vecteur v - p est orthogonal à tout vecteur de F. La projection orthogonale est une application linéaire idempotente et auto-adjointe. Dans un espace de Hilbert, si F est fermé, tout vecteur se décompose de façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur orthogonal à F.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le projeté comme le vecteur du sous-espace qui minimise la distance.
- Calculer le projeté de (4, 2) sur la droite y = x et contrôler l’orthogonalité du résidu.
- Relier projection, idempotence, auto-adjonction et décomposition orthogonale.
- Distinguer projeté vectoriel, composante scalaire et projection oblique.
- Repérer le rôle de la fermeture du sous-espace dans un espace de Hilbert.
En clair
Imaginez le vecteur qui va de l’origine au point (4, 2), et la droite diagonale y = x. On laisse tomber sur cette droite une perpendiculaire issue de (4, 2). Son pied est le point (3, 3) : le vecteur qui l’atteint est le projeté orthogonal.
Parmi tous les vecteurs de la diagonale, (3, 3) est le plus proche de (4, 2). L’écart (1, −1) est perpendiculaire à la droite : il mesure exactement ce que la projection a laissé de côté.
Définition
Soit un vecteur v d’un espace euclidien et un sous-espace vectoriel F. Le projeté orthogonal de v sur F est l’unique vecteur p appartenant à F tel que le vecteur résiduel v − p soit orthogonal à chaque vecteur de F. Autrement dit, . Cette condition équivaut à dire que p minimise la distance entre v et tous les vecteurs de F.
L’application qui associe p à v est notée PF. Elle est linéaire. Elle est aussi idempotente, car projeter une seconde fois ne change rien : . Enfin, elle est auto-adjointe : pour le produit scalaire noté par des chevrons, .
Chaque vecteur admet alors la décomposition unique v = p + (v − p), avec une composante dans F et l’autre dans le sous-espace orthogonal F⊥. En dimension finie, tout sous-espace convient. Dans un espace de Hilbert de dimension éventuellement infinie, l’existence du vecteur le plus proche exige que F soit fermé.
Un exemple, pas à pas
On cherche le projeté du vecteur v = (4, 2) sur la droite F dirigée par le vecteur u = (1, 1). Données : les coordonnées de v et de u, le produit scalaire usuel et la norme euclidienne.
1. Un vecteur de F est un multiple de u. Le projeté a donc la forme p = λu, où λ est un nombre réel.
2. Le coefficient se calcule avec le produit scalaire de v et u, divisé par celui de u avec lui-même : .
3. On obtient p = 3u = (3, 3). Le résidu vaut v − p = (1, −1).
4. Le contrôle d’orthogonalité est refaisable : (1, −1) · (1, 1) = 1 − 1 = 0. Le résidu est donc perpendiculaire à toute la droite F.
La distance minimale de v à F est la norme du résidu, soit √2. La décomposition (4, 2) = (3, 3) + (1, −1) sépare visuellement la composante portée par F de l’écart orthogonal.
En pratique
Pour chercher le point d’un sous-espace le plus proche d’un vecteur, on impose que l’écart soit orthogonal au sous-espace. Une simple projection oblique ne convient pas si le critère observable est la plus petite distance euclidienne.
Dans un problème de moindres carrés, les données ne coïncident pas toujours avec le modèle choisi. On projette alors le vecteur des observations sur l’espace des valeurs produites par le modèle ; le résidu orthogonal signale que l’erreur quadratique ne peut plus être réduite dans cet espace.
Pour décomposer un vecteur, la projection isole sa composante dans F et laisse une composante dans F⊥. Une décomposition quelconque suffit pour écrire une somme, mais la décomposition orthogonale est préférée lorsque les deux parts doivent être séparées sans recouvrement selon le produit scalaire.
À ne pas confondre
Projection orthogonale et projection oblique. Les deux envoient un vecteur sur F et sont idempotentes. Pour les distinguer, observez la direction du résidu : elle appartient à F⊥ dans la projection orthogonale, mais suit un autre sous-espace dans une projection oblique.
Projeté vectoriel et composante scalaire. Sur une droite dirigée par un vecteur unitaire u, le nombre ⟨v, u⟩ est une composante signée, tandis que le projeté est le vecteur ⟨v, u⟩u. Dans l’exemple, 3 est le coefficient et (3, 3) est le projeté.
Limites et pièges
Sous-espace non fermé. Dans un espace de Hilbert de dimension infinie, la distance à F peut avoir une borne inférieure sans qu’aucun vecteur de F ne l’atteigne. Il faut projeter sur un sous-espace fermé, ou remplacer F par sa fermeture si le problème l’autorise.
Base non orthonormée. Additionner directement les produits scalaires avec les vecteurs d’une base donne généralement un mauvais résultat. La formule par somme de composantes ne s’emploie telle quelle qu’avec une base orthonormée ; sinon, il faut résoudre les équations d’orthogonalité.
Cas charnières. Si F se réduit au vecteur nul, tout vecteur a pour projeté 0. Si F est l’espace entier, le projeté de v est v et le résidu est nul. Ces deux cas respectent encore l’idempotence et la décomposition orthogonale.
Produit scalaire oublié. Le mot « orthogonal » dépend du produit scalaire choisi. Si ce produit change, le pied de la projection peut changer lui aussi ; il faut donc fixer cette donnée avant de calculer des coefficients ou une distance.
Pour aller plus loin
projection — Situer la projection orthogonale parmi les applications qui rabattent un espace sur une partie de lui-même.
espace vectoriel — Revoir les sous-espaces, les combinaisons linéaires et les bases nécessaires pour décrire l’espace F.
espace de Hilbert — Approfondir le cadre où la fermeture de F garantit l’existence de la projection orthogonale.
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