Préhilbertien (espace vectoriel)

Sur une feuille quadrillée, deux flèches peuvent avoir une longueur et former un angle. Un espace préhilbertien étend cette géométrie à des vecteurs qui ne sont pas forcément dessinables, par exemple des fonctions. Une opération appelée produit scalaire y mesure leur accord géométrique.

Quand ce produit vaut zéro, les vecteurs sont orthogonaux. En appliquant un vecteur à lui-même, on obtient sa longueur. On peut aussi chercher, parmi les vecteurs d'un sous-espace, celui qui approche le mieux un vecteur donné : c'est l'idée de la projection orthogonale.

Un espace préhilbertien est un espace vectoriel E sur les nombres réels ou complexes, équipé d'un produit scalaire. Pour deux vecteurs x et y, ce produit est noté $⟨x,y⟩\backslash langle\; x,y\backslash rangle$. Dans le cas réel, il est bilinéaire, symétrique et positif défini. Dans le cas complexe, le produit hermitien est sesquilinéaire, conjugué-symétrique et positif défini ; selon la convention, c'est la première ou la seconde variable qui est linéaire.

La positivité définie signifie que $⟨x,x⟩\ge 0\backslash langle\; x,x\backslash rangle\; \backslash geq\; 0$, avec égalité seulement lorsque x est le vecteur nul. Le produit scalaire induit la norme $\parallel x\parallel =\sqrt{⟨x,x⟩}\backslash lVert\; x\backslash rVert=\backslash sqrt\{\backslash langle\; x,x\backslash rangle\}$, puis la distance entre x et y donnée par la norme de leur différence. Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul. Pour des vecteurs non nuls d'un espace réel, l'angle est relié au quotient du produit scalaire par le produit des normes.

La complétude ne fait pas partie de la définition préhilbertienne. Si toute suite de Cauchy pour la distance induite converge dans E, l'espace est un espace de Hilbert. Les espaces L², formés de classes de fonctions de carré intégrable, sont des exemples fondamentaux d'espaces de Hilbert.

La structure repose sur quatre éléments liés. Le corps des scalaires, réel ou complexe, fixe les coefficients autorisés. L'espace vectoriel fournit l'addition des vecteurs et leur multiplication par un scalaire. Le produit scalaire associe un nombre à chaque paire de vecteurs. Enfin, la positivité définie garantit que ce nombre mesure réellement une taille lorsqu'un vecteur est comparé à lui-même.

Le produit scalaire dépend de la structure vectorielle, car sa linéarité utilise l'addition et les scalaires. La norme dépend à son tour du produit scalaire ; elle n'est pas une donnée indépendante. Ces éléments suffisent à calculer longueurs, distances et orthogonalité. Sous des hypothèses adaptées sur le sous-espace, ils permettent aussi de définir une projection orthogonale. Un dessin, une orientation d'axes ou le choix d'une base aide au calcul, mais ne définit pas l'espace préhilbertien.

Dans le plan réel ℝ², on utilise le produit scalaire usuel. Le vecteur directeur u a pour coordonnées (2, 1), et le vecteur w a pour coordonnées (3, 1). On cherche la projection p de w sur la droite engendrée par u.

1. Le produit scalaire de u par lui-même vaut 2 × 2 + 1 × 1 = 5. La norme de u vaut donc √5.

2. Le produit scalaire de w par u vaut 3 × 2 + 1 × 1 = 7.

3. Le coefficient de projection est le quotient 7/5. La projection est donc p = (7/5)u = (14/5, 7/5).

4. Le reste w − p vaut (1/5, −2/5). La décomposition géométrique associe ainsi une composante portée par la droite et une composante perpendiculaire.

Le contrôle consiste à calculer le produit scalaire du reste avec u : (1/5) × 2 + (−2/5) × 1 = 0. Le reste est bien orthogonal à u, ce qui caractérise ici la projection cherchée.

En géométrie vectorielle, le produit scalaire sert à tester une perpendicularité sans mesurer un angle au rapporteur. Pour les vecteurs u = (2, 1) et (1, −2), le résultat nul établit directement leur orthogonalité.

Pour approcher un vecteur par une droite ou, plus généralement, par un sous-espace fermé d'un espace de Hilbert, on emploie la projection orthogonale. On la préfère à un choix arbitraire lorsque le critère observable est la plus petite distance induite par le produit scalaire.

En analyse, les éléments de L², représentés par des fonctions, sont traités comme des vecteurs. Leur produit scalaire permet de comparer leurs composantes et de développer des méthodes d'approximation. Si seule une norme est disponible et qu'elle ne provient pas d'un produit scalaire, les outils d'orthogonalité ne sont pas automatiquement accessibles.

Espace préhilbertien et espace de Hilbert. Tous deux possèdent un produit scalaire, mais seul le second est complet pour la distance induite. Une suite de Cauchy qui n'a pas de limite dans l'espace suffit à montrer qu'un espace préhilbertien donné n'est pas un espace de Hilbert.

Espace préhilbertien et espace normé. Un espace préhilbertien porte toujours une norme induite par son produit scalaire. La réciproque est fausse : une norme ne provient d'un produit scalaire que si elle satisfait l'identité du parallélogramme.

Produit scalaire et forme bilinéaire quelconque. Sur un espace réel, une forme bilinéaire qui prend une valeur négative sur un vecteur non nul ne définit pas un produit scalaire. Le test décisif porte notamment sur la symétrie et la positivité définie.

Produit nul. Deux vecteurs non nuls peuvent avoir un produit scalaire nul : ils sont orthogonaux, pas égaux au vecteur nul. En revanche, le produit d'un vecteur avec lui-même est nul uniquement pour le vecteur nul.

Projection non automatique. En dimension finie, la projection orthogonale sur un sous-espace existe et est unique. En dimension infinie, cette conclusion est garantie pour un sous-espace fermé d'un espace de Hilbert ; sans fermeture ou sans complétude, le meilleur approximant peut manquer dans le sous-espace considéré.

Convention complexe. Un produit hermitien n'est pas bilinéaire au sens complexe : une variable est linéaire et l'autre conjuguée-linéaire. Il faut vérifier la convention de l'auteur avant de sortir un scalaire d'un produit.

Angle complexe. La formule réelle de l'angle ne se transpose pas telle quelle, car un produit hermitien peut être complexe. Pour tester l'orthogonalité, le critère sans ambiguïté reste l'annulation du produit hermitien.

Le glossaire produit scalaire détaille l'opération qui engendre toute la géométrie préhilbertienne.

La fiche norme situe la longueur induite par un produit scalaire parmi les normes plus générales.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz explique pourquoi le produit scalaire contrôle les normes et rend possible la notion d'angle.

L'espace de Hilbert ajoute la complétude, essentielle pour garantir de nombreux passages à la limite et résultats de projection.