AlgèbreNotion · Glossaire
forme hermitienne
Soit E un espace vectoriel sur le corps ℂ des nombres complexes. Une forme hermitienne est une forme sesquilinéaire f définie sur E × E à valeurs dans ℂ, vérifiant pour tous vecteurs x et y de E la relation , où la barre désigne la conjugaison complexe. Cette condition symétrie hermitienne garantit que les valeurs f(x, x) sont toujours réelles, ce qui permet de parler de positivité. Lorsqu'en outre f(x, x) ≥ 0 pour tout x et f(x, x) = 0 seulement si x = 0, la forme est dite hermitienne définie positive et constitue un produit scalaire hermitien, généralisant aux espaces complexes la notion de produit scalaire euclidien. Les formes hermitiennes jouent un rôle central en mécanique quantique et en géométrie des espaces de Hilbert complexes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la conjugaison complexe quand les deux vecteurs échangent leur place.
- Vérifier la symétrie hermitienne sur deux vecteurs explicites de ℂ².
- Distinguer une forme hermitienne d’une forme définie positive et d’un produit scalaire hermitien.
- Repérer les pièges liés aux directions nulles et aux conventions de sesquilinéarité.
En clair
Prenez deux listes de nombres complexes et combinez-les pour obtenir un nouveau nombre. Échanger les deux listes ne laisse pas toujours ce nombre inchangé : sa partie imaginaire change de signe. C’est la conjugaison complexe. Une forme hermitienne organise précisément cette symétrie.
Quand la même liste occupe les deux places, le résultat est réel. S’il est aussi toujours positif, sauf pour le vecteur nul, ce résultat se comporte comme un carré de longueur. On obtient alors le produit scalaire adapté aux espaces vectoriels complexes.
Définition
Une forme hermitienne agit sur deux vecteurs d’un espace vectoriel complexe E et renvoie un nombre complexe. Elle est sesquilinéaire : avec la convention retenue ici, elle est conjugée-linéaire dans le premier vecteur et linéaire dans le second. Ainsi, pour des vecteurs x, y et z de E et un nombre complexe λ, la forme h vérifie et .
La symétrie hermitienne impose, pour tous vecteurs x et y, . En prenant deux fois le même vecteur, le nombre h(x, x) est égal à son conjugué ; il est donc réel. Cette propriété autorise à comparer h(x, x) à zéro, mais elle ne garantit pas à elle seule sa positivité.
La forme est hermitienne définie positive lorsque h(x, x) ≥ 0 pour tout vecteur x et que l’égalité h(x, x) = 0 n’arrive que pour le vecteur nul. Elle constitue alors un produit scalaire hermitien. Dans une base de dimension finie, une matrice H représente h ; la symétrie s’écrit , c’est-à-dire que H est égale à sa transposée conjuguée.
Un exemple, pas à pas
Dans l’espace ℂ², considérons la forme h qui conjugue les coordonnées du premier vecteur avant de multiplier les coordonnées correspondantes. Les données sont les vecteurs x = (1 + i, 2) et y = (i, 1), où i² = −1.
Étape 1. La règle de calcul est . Elle fixe explicitement la convention : la première entrée est conjugée-linéaire.
Étape 2. En plaçant x en premier, .
Étape 3. En échangeant les vecteurs, . Le second résultat est bien le conjugué du premier.
Étape 4. Avec x dans les deux entrées, . Le résultat est réel et strictement positif.
Le calcul parallèle des deux ordres rend visible la symétrie conjuguée. Pour contrôler le résultat diagonal, on refait séparément les deux modules au carré : 1² + 1² = 2 et 2² = 4, puis 2 + 4 = 6.
En pratique
Pour vérifier qu’une formule déjà reconnue comme sesquilinéaire est hermitienne, on échange ses deux entrées puis on conjugue le résultat. Si les expressions coïncident, la symétrie hermitienne est satisfaite ; sinon, la forme sesquilinéaire n’est pas hermitienne.
Pour mesurer longueurs et angles dans un espace complexe, on teste ensuite la positivité. Une forme définie positive convient comme produit scalaire hermitien. Si un vecteur non nul donne une valeur négative ou nulle sur la diagonale, elle ne fournit pas cette géométrie.
Dans les espaces de Hilbert complexes et en mécanique quantique, la structure hermitienne garantit notamment que l’évaluation d’un vecteur avec lui-même est réelle. Le calcul h(x, x) = 6 de l’exemple illustre ce contrôle immédiat.
À ne pas confondre
Forme bilinéaire complexe. Elle est linéaire dans les deux entrées, sans conjugaison. La règle g(x, y) = x1y1 + x2y2 est bilinéaire ; pourtant g((i, 0), (i, 0)) = −1. Elle n’est donc pas le produit scalaire hermitien usuel de ℂ².
Matrice symétrique. Une matrice symétrique est égale à sa transposée. Une matrice hermitienne est égale à sa transposée conjuguée. La matrice de lignes (1, i) et (−i, 2) est hermitienne, car les termes hors diagonale sont conjugués, mais elle n’est pas symétrique.
Limites et pièges
Hermitienne ne signifie pas positive. Pour des coordonnées complexes a, b, c et d, la règle respecte la symétrie hermitienne. Pourtant, le vecteur x = (0, 1) donne h(x, x) = −1. Il faut tester la positivité séparément avant de parler de produit scalaire.
Positive ne signifie pas définie positive. Pour ces mêmes coordonnées, la règle ne donne jamais de valeur diagonale négative. Pourtant, le vecteur non nul (0, 1) donne zéro. Cette forme est seulement positive semi-définie ; elle ne définit pas une longueur sans identifier ou éliminer les directions nulles.
La convention de linéarité peut être inversée. Certains textes choisissent la première entrée linéaire et la seconde conjugée-linéaire. Le symptôme est l’apparition de λ au lieu de son conjugué quand la première entrée est multipliée par λ. Il faut lire la convention avant de comparer deux formules.
Une diagonale réelle ne suffit pas à conclure à une longueur. Pour la forme indéfinie du premier cas, le vecteur non nul (1, 1) donne 1 − 1 = 0. La condition charnière reste donc : h(x, x) = 0 seulement lorsque x = 0.
Pour aller plus loin
Matrice hermitienne — Pour reconnaître la symétrie conjuguée directement dans les coefficients d’une matrice.
Produit scalaire — Pour relier positivité, orthogonalité et longueur au cadre familier des espaces réels.
Espace de Hilbert — Pour prolonger le produit scalaire hermitien dans un espace complet et comprendre son cadre géométrique.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres