matrice hermitienne

Imaginez un carré de nombres complexes plié le long de sa diagonale. Deux cases qui se superposent doivent contenir des nombres conjugués : le signe de leur partie imaginaire s’inverse. Ainsi, si une case contient 1 + i, sa case miroir contient 1 − i.

Sur la diagonale, chaque nombre est son propre miroir. Il doit donc être réel. Cette symétrie avec conjugaison caractérise une matrice hermitienne et conduit à des valeurs propres réelles.

Une matrice hermitienne est une matrice carrée à coefficients complexes qui est égale à sa transposée conjuguée, aussi appelée adjointe. Pour une matrice nommée A, cette condition s’écrit $A=A^{\ast }A=A^*$. L’étoile désigne ici l’opération qui conjugue chaque coefficient complexe, puis transpose la matrice.

Si a_ij désigne le coefficient situé à la ligne i et à la colonne j, le critère est $a_{ij}=\overline{a_{ji}}a\_\{ij\}=\backslash overline\{a\_\{ji\}\}$ pour toute paire d’indices. Sur la diagonale, les indices sont identiques. Chaque coefficient diagonal est donc égal à son propre conjugué et doit être réel. Une matrice réelle hermitienne est ainsi une matrice symétrique réelle.

Toute matrice hermitienne admet une diagonalisation unitaire : une matrice de passage unitaire transforme A en une matrice diagonale. Les entrées de cette diagonale, qui sont les valeurs propres de A, sont réelles. Cette conclusion est plus forte qu’une simple diagonalisabilité, car le changement de base peut être choisi unitaire.

Trois éléments organisent la structure. La forme carrée permet d’associer la case de ligne i et colonne j à celle de ligne j et colonne i. La diagonale principale rassemble les cases qui ne changent pas de place lors de la transposition. Enfin, les coefficients hors diagonale vont par paires symétriques.

Dans chaque paire, choisir un coefficient impose l’autre par conjugaison complexe. Choisir un coefficient diagonal impose qu’il soit réel. Ces relations suffisent à vérifier ou à construire une matrice hermitienne. La figure applique ces deux contraintes à la matrice conductrice : 2 et 3 restent fixes, tandis que 1 + i et 1 − i se correspondent.

On considère la matrice carrée A dont les coefficients diagonaux sont 2 et 3. Le coefficient en haut à droite vaut 1 + i, et celui en bas à gauche vaut 1 − i.

1. On conjugue les coefficients : 2 et 3 ne changent pas, tandis que 1 + i devient 1 − i.

2. On transpose ensuite la matrice conjuguée. Les deux coefficients hors diagonale échangent leur place, ce qui redonne exactement A. La matrice est donc hermitienne.

3. Pour contrôler les valeurs propres, on calcule le polynôme caractéristique. Pour le nombre λ cherché, le calcul donne $\det (A-\lambda I)={\lambda }^2-5\lambda +4=(\lambda -1)(\lambda -4)\backslash det(A-\backslash lambda\; I)=\backslash lambda^2-5\backslash lambda+4=(\backslash lambda-1)(\backslash lambda-4)$.

4. Les valeurs propres sont donc 1 et 4, toutes deux réelles. Le contrôle est refaisable : leur somme vaut 5, comme la somme 2 + 3 des coefficients diagonaux, et leur produit vaut 4, comme le déterminant 2 × 3 − (1 + i)(1 − i).

Pour tester une matrice complexe, on compare chaque coefficient à la case symétrique conjuguée. Il suffit d’examiner un seul côté de la diagonale, puis de contrôler que la diagonale est réelle. Si une paire échoue, la matrice n’est pas hermitienne.

Pour construire un exemple, on choisit d’abord des nombres réels sur la diagonale. On remplit ensuite un côté de la matrice et l’autre côté avec les conjugués correspondants. Cette procédure garantit l’égalité avec l’adjointe.

Pour obtenir une forme diagonale, on utilise la diagonalisation unitaire propre aux matrices hermitiennes. Une diagonalisation quelconque donnerait bien une diagonale, mais le choix unitaire conserve en plus une base de vecteurs propres orthonormés.

Matrice symétrique. Elle est égale à sa transposée, sans conjugaison. Sur des coefficients réels, les deux notions coïncident. Avec les coefficients 1 + i et 1 − i placés symétriquement, la matrice conductrice est hermitienne mais pas symétrique.

Matrice adjointe. L’adjointe A^* est le résultat d’une opération applicable à toute matrice complexe. Le qualificatif « hermitienne » exprime le cas testable où la matrice carrée de départ satisfait A = A^*.

Matrice unitaire. Elle satisfait A^*A = I, alors qu’une matrice hermitienne satisfait A = A^*. La matrice conductrice est hermitienne, mais ses valeurs propres 1 et 4 montrent qu’elle n’est pas unitaire.

Une diagonale réelle ne suffit pas. La matrice peut avoir 2 et 3 sur sa diagonale sans que ses coefficients hors diagonale soient conjugués. Il faut donc contrôler toutes les paires symétriques.

Le format carré est indispensable. Une matrice rectangulaire possède bien une transposée conjuguée, mais celle-ci n’a pas les mêmes dimensions. L’égalité A = A^* ne peut alors pas définir une matrice hermitienne.

Le cas d’ordre 1 n’est pas vide. Une matrice à un seul coefficient est hermitienne exactement lorsque ce coefficient est réel. Le contrôle se réduit à la condition imposée sur la diagonale.

Des valeurs propres répétées ne bloquent pas le résultat. Même si une valeur propre apparaît plusieurs fois, la propriété hermitienne garantit encore une diagonalisation par une matrice unitaire.

matrice adjointe — Détailler l’opération de transposition avec conjugaison utilisée dans le critère hermitien.

valeur propre — Approfondir le sens des nombres réels qui apparaissent sur la diagonale après diagonalisation.