AlgèbreThéorème · Glossaire
Spectral (théorème)
Le théorème spectral est un résultat fondamental de l'analyse fonctionnelle et de l'algèbre linéaire. Dans sa version pour les matrices, il affirme que toute matrice réelle symétrique (ou complexe hermitienne) est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres, avec des valeurs propres réelles. Dans le cadre des opérateurs auto-adjoints bornés sur un espace de Hilbert, le théorème spectral affirme l'existence d'une mesure spectrale permettant de représenter l'opérateur comme une intégrale. Ce théorème est fondamental en mécanique quantique et en traitement du signal.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les hypothèses symétrique, hermitienne et auto-adjointe qui déclenchent les différentes versions du théorème.
- Calculer les valeurs propres 1 et 3 d’une matrice symétrique 2 × 2 et construire une base orthonormée associée.
- Interpréter la diagonalisation comme deux étirements indépendants dans des directions perpendiculaires.
- Relier le cas matriciel discret à la représentation intégrale d’un opérateur borné auto-adjoint.
- Distinguer théorème spectral, diagonalisation générale, valeurs singulières et rayon spectral.
En clair
Sur un quadrillage, imaginez une transformation qui étire les flèches. Pour la matrice symétrique de l’exemple, une flèche dirigée comme (1, 1) devient trois fois plus longue, tandis qu’une flèche perpendiculaire dirigée comme (1, −1) garde sa longueur. Ces deux directions ne se mélangent pas.
Le théorème spectral garantit précisément l’existence de telles directions perpendiculaires pour toute matrice réelle symétrique. Dans ce repère bien choisi, la transformation se résume à une liste de facteurs d’étirement réels : ses valeurs propres.
Définition
Le théorème spectral est un résultat de diagonalisation avec orthogonalité. Soit A une matrice carrée réelle symétrique, c’est-à-dire égale à sa transposée. Il existe une matrice orthogonale Q dont les colonnes forment une base orthonormée de vecteurs propres de A, et une matrice diagonale réelle D contenant les valeurs propres correspondantes. La relation s’écrit :
Ou encore :
Pour une matrice complexe hermitienne, la transposée est remplacée par la transposée conjuguée, et Q devient unitaire.
Dans un espace de Hilbert, la version donnée ici concerne un opérateur borné T qui est auto-adjoint. Une mesure spectrale E associe alors des projections orthogonales aux parties du spectre et représente l’opérateur par :
où σ(T) est le spectre de T. En dimension finie, cette intégrale retrouve la somme des valeurs propres multipliées par les projections sur leurs sous-espaces propres. En dimension infinie, elle couvre aussi le cas où une base de vecteurs propres ne suffit pas.
Le principe
Si une matrice carrée réelle A est symétrique, alors toutes ses valeurs propres sont réelles et il existe une base orthonormée formée de vecteurs propres de A. En plaçant ces vecteurs en colonnes d’une matrice orthogonale Q, on obtient une matrice diagonale D telle que . Le même énoncé vaut sur les nombres complexes pour une matrice hermitienne. La matrice Q est alors unitaire et sa transposée conjuguée, notée Q*, vérifie . Si T est un opérateur borné auto-adjoint sur un espace de Hilbert, alors une mesure spectrale E permet de l’écrire sous la forme .
Quand l'utiliser
Dans le cas matriciel réel, la matrice doit être carrée et sa symétrie se vérifie en comparant les coefficients situés de part et d’autre de la diagonale. Dans le cas complexe, elle doit être hermitienne : chaque coefficient transposé est aussi conjugué. Ces conditions donnent des valeurs propres réelles et une base orthonormée. Pour la version sur un espace de Hilbert présentée ici, l’opérateur doit être à la fois borné et auto-adjoint ; la conclusion est alors une représentation par mesure spectrale.
La matrice réelle R qui envoie (x, y) sur (−y, x) n’est pas symétrique : elle représente un quart de tour et n’a aucun vecteur propre réel. Une diagonalisation orthogonale réelle est donc impossible. Il faut étudier sa structure complexe ou employer un outil adapté aux matrices non symétriques, sans invoquer cette version du théorème spectral.
Un exemple, pas à pas
Considérons la matrice symétrique :
Les données sont ses quatre coefficients et le vecteur x = (4, 2). Nous cherchons ses valeurs propres, une base orthonormée de vecteurs propres, puis l’action de A sur x.
1. Le polynôme caractéristique vaut :
Les valeurs propres sont donc 1 et 3.
2. Pour la valeur propre 1, un vecteur propre est (1, −1). Pour la valeur propre 3, un vecteur propre est (1, 1). Après normalisation, on obtient les vecteurs unitaires et , qui sont perpendiculaires.
3. La matrice Q ayant u1 et u3 pour colonnes est orthogonale. La matrice D porte les valeurs propres dans le même ordre :
Le calcul donne bien .
4. Le vecteur x se décompose en . La matrice conserve la première composante et triple la seconde, donc Ax = (10, 8). La multiplication directe (2·4 + 1·2, 1·4 + 2·2) donne aussi (10, 8). Ce contrôle confirme la décomposition. La transformation du cercle unité en ellipse rend visibles les deux facteurs 1 et 3 selon les directions propres.
En pratique
Pour calculer rapidement les puissances d’une matrice symétrique, on passe dans sa base orthonormée de vecteurs propres : chaque coefficient diagonal est simplement élevé à la puissance voulue. Si la matrice n’est pas symétrique, il faut d’abord vérifier si une diagonalisation ordinaire est possible au lieu de supposer cette base orthonormée.
En mécanique quantique, un opérateur auto-adjoint représente une grandeur observable. Sa mesure spectrale organise les valeurs possibles et les projections associées. Une liste de vecteurs propres suffit en dimension finie ; en présence d’une partie continue du spectre, la représentation intégrale est nécessaire.
En traitement du signal, une matrice réelle symétrique ou complexe hermitienne peut être séparée en modes orthogonaux, chacun portant sa propre valeur. Pour une matrice de données rectangulaire, la décomposition en valeurs singulières est l’alternative adaptée, car le théorème matriciel ne s’applique pas directement.
À ne pas confondre
Une diagonalisation quelconque n’est pas forcément une diagonalisation orthonormée. La matrice de coefficients (1, 1 ; 0, 2) est diagonalisable, mais ses deux directions propres ne sont pas perpendiculaires. Le théorème spectral ajoute précisément l’orthonormalité lorsque la matrice est symétrique ou hermitienne.
La décomposition en valeurs singulières utilise deux familles orthonormées et des valeurs singulières non négatives ; elle existe aussi pour une matrice rectangulaire. Le théorème spectral utilise une seule base de vecteurs propres et conserve les valeurs propres signées. Une matrice 2 × 3 relève donc de la première, pas de la version matricielle du second.
Le rayon spectral est seulement la plus grande valeur absolue parmi les éléments du spectre. Pour la matrice de l’exemple, il vaut 3. Le théorème spectral fournit davantage : les deux valeurs 1 et 3, leurs directions propres orthogonales et la décomposition complète de la transformation.
Limites et pièges
Une valeur propre répétée ne détermine pas des vecteurs propres uniques. Pour la matrice identité 2 × 2, la valeur propre 1 est double et toute base orthonormée convient. Il faut choisir une base orthonormée dans chaque sous-espace propre, sans attribuer de signification particulière à un choix arbitraire.
Une valeur propre nulle n’empêche pas la diagonalisation spectrale. Elle signale toutefois que la matrice n’est pas inversible : le coefficient diagonal correspondant ne peut pas être remplacé par son inverse. Il faut restreindre l’inversion aux sous-espaces associés aux valeurs propres non nulles.
En dimension infinie, chercher seulement une base de vecteurs propres peut échouer lorsque le spectre comporte une partie continue. Le symptôme est l’absence d’une famille propre qui reconstruise tout l’espace. Il faut alors conserver la formulation par mesure spectrale et intégrale, qui ne se réduit pas à une somme discrète.
La version énoncée ici suppose l’opérateur borné. Pour un opérateur auto-adjoint non borné, fréquent en mécanique quantique, le domaine de définition devient une donnée essentielle. Il ne faut pas appliquer mot pour mot l’énoncé borné : une version adaptée du théorème spectral doit intégrer ces questions de domaine.
Pour aller plus loin
La valeur propre précise le facteur d’étirement attaché à chaque direction conservée par une transformation linéaire.
Le Vecteur propre développe la notion de direction qui ne change pas sous l’action d’une matrice.
La matrice hermitienne présente la variante complexe dont les valeurs propres restent réelles et les vecteurs propres orthonormables.
L’espace de Hilbert fournit le cadre où la version opératorielle remplace la somme diagonale par une intégrale spectrale.
La matrice symétrique positive semi-définie ajoute la condition que toutes les valeurs propres soient positives ou nulles.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres