AlgèbreThéorème · Glossaire
Courant-Fischer (théorème de)
Le théorème de Courant-Fischer est un résultat fondamental d'algèbre linéaire caractérisant les valeurs propres d'une matrice hermitienne par des formules variationnelles minimax. Il affirme que la k-ième valeur propre (ordonnées par ordre croissant) d'une matrice hermitienne est égale au minimum sur tous les sous-espaces de dimension k du maximum du quotient de Rayleigh sur ce sous-espace, ou à l'équivalent maximin. Ce théorème est central en analyse spectrale et dans l'étude des opérateurs auto-adjoints.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la recherche minimax sur des sous-espaces de dimension fixée.
- Lire les deux formules équivalentes avec une convention croissante des valeurs propres.
- Retrouver exactement la valeur propre 3 de la matrice diagonale diag(1, 3, 6).
- Vérifier les hypothèses d'hermiticité, de dimension et de non-nullité.
- Repérer les changements dus à une convention décroissante ou à une valeur propre multiple.
En clair
Imaginez une matrice comme une machine qui étire différemment plusieurs directions. Au lieu de chercher directement toutes ses directions propres, on choisit un sous-espace de taille fixée et on y repère l'étirement le plus fort. On recommence avec tous les sous-espaces possibles, puis on garde le plus petit de ces maxima.
Pour une matrice hermitienne, cette sélection retrouve exactement une valeur propre. En changeant la dimension du sous-espace, on atteint successivement toutes les valeurs propres, rangées de la plus petite à la plus grande.
Définition
Soit A une matrice hermitienne de taille n, c'est-à-dire égale à sa transposée conjuguée. Ses valeurs propres sont réelles. On les note λ1 ≤ … ≤ λn. Pour tout vecteur non nul x, le quotient de Rayleigh de A en x est le nombre suivant : .
Pour un entier k compris entre 1 et n, le théorème caractérise la k-ième valeur propre par deux optimisations équivalentes :
Dans la première formule, S parcourt les sous-espaces de dimension k. Dans la seconde, T parcourt ceux de dimension n − k + 1. Les extrema intérieurs sont atteints sur la sphère unité, compacte. Les extrema extérieurs le sont aussi, car l'ensemble des sous-espaces d'une dimension fixée est compact.
Pour une matrice réelle symétrique, la même formule s'applique en remplaçant la transposée conjuguée par la transposée ordinaire. Aux rangs extrêmes, elle redonne le minimum et le maximum globaux du quotient de Rayleigh.
Le principe
Si A est une matrice hermitienne de taille n, si ses valeurs propres réelles sont ordonnées par λ1 ≤ … ≤ λn, et si 1 ≤ k ≤ n, alors :
Le premier membre cherche le meilleur sous-espace de dimension k contre son vecteur le plus défavorable. Le second échange les deux optimisations et adapte la dimension.
Quand l'utiliser
Le cadre élémentaire est un espace complexe de dimension finie muni de son produit scalaire, avec une matrice A hermitienne. Dans le cadre réel, A doit être symétrique. Il faut aussi fixer l'ordre croissant des valeurs propres et choisir un entier k entre 1 et la taille n de la matrice. Le quotient de Rayleigh n'est évalué que sur des vecteurs non nuls.
Si A n'est pas hermitienne, son quotient de Rayleigh peut être complexe et ses valeurs propres ne se rangent plus nécessairement sur la droite réelle : cette formule ne s'applique pas. Selon la question, on étudie alors la partie hermitienne de A ou les valeurs singulières, avec un théorème adapté.
Un exemple, pas à pas
On prend la matrice réelle symétrique A = diag(1, 3, 6), dont les valeurs propres croissantes sont 1, 3 et 6. On cherche la deuxième, donc k = 2. Pour un vecteur x de coordonnées (a, b, c), les données sont : et x ≠ 0.
1. Dans le plan S engendré par les deux premiers vecteurs de la base, c = 0. Le quotient varie entre 1 et 3, donc son maximum vaut 3.
2. Tout plan de dimension 2 rencontre non trivialement le plan engendré par les deuxième et troisième vecteurs. Sur leur intersection, le quotient vaut au moins 3. Le maximum sur tout plan est donc au moins 3. Le minimum des maxima vaut ainsi 3.
3. Pour le maximin, le plan engendré par les deuxième et troisième vecteurs donne un minimum égal à 3. Tout plan rencontre aussi celui des deux premiers vecteurs, où le quotient vaut au plus 3. Aucun minimum ne peut donc dépasser 3.
Les deux optimisations donnent λ2 = 3. Pour contrôler, A multiplie le deuxième vecteur de base par 3. Les intervalles atteints par les plans optimaux rendent visible ce seuil commun.
En pratique
Pour encadrer une valeur propre, on propose un sous-espace simple et on y majore le quotient de Rayleigh. La formule minimax transforme ce calcul en borne supérieure. Une autre famille de sous-espaces peut fournir une borne plus serrée.
Pour approcher quelques valeurs propres d'une grande matrice hermitienne, on travaille dans un sous-espace de dimension réduite et on y optimise le quotient. Si toute la matrice est petite et explicite, une diagonalisation directe donne plutôt l'ensemble du spectre.
Pour comparer deux matrices hermitiennes, on compare leurs quotients de Rayleigh vecteur par vecteur. Une inégalité valable pour tout vecteur se transmet aux valeurs propres de même rang. Si elle échoue ou n'est vérifiée que sur quelques vecteurs, cette méthode ne permet pas, à elle seule, de conclure sur l'ordre des valeurs propres : il faut recourir à un autre argument spectral ou à une comparaison directe.
À ne pas confondre
Le quotient de Rayleigh associe un nombre à un vecteur non nul. Le théorème de Courant-Fischer optimise ce nombre sur des sous-espaces entiers. Pour A = diag(1, 3, 6), le quotient au deuxième vecteur de base vaut 3 ; le théorème explique pourquoi 3 est aussi le seuil optimal entre tous les plans.
Les valeurs singulières existent aussi pour une matrice rectangulaire ou non hermitienne et sont toujours non négatives. Les valeurs propres de Courant-Fischer appartiennent ici à une matrice hermitienne et peuvent être négatives. Une matrice non carrée tranche immédiatement entre les deux cadres.
Limites et pièges
Ordre des valeurs propres. La fiche adopte λ1 ≤ … ≤ λn. Avec un ordre décroissant, les dimensions des sous-espaces et les rôles de minimum et maximum changent. Il faut traduire la convention avant d'appliquer une formule trouvée ailleurs.
Valeur propre multiple. La valeur minimax reste parfaitement définie, mais un sous-espace optimal peut ne pas être unique. Le symptôme est l'égalité de plusieurs λk consécutives ; il faut alors parler d'espace propre plutôt que chercher une direction propre unique.
Vecteur nul. Le quotient contient la quantité x*x au dénominateur. Pour x = 0, elle vaut 0 et le quotient n'est pas défini. On optimise sur les vecteurs non nuls, ou de façon équivalente sur les vecteurs de norme 1.
Matrice non hermitienne. Des valeurs propres complexes ou un quotient non réel empêchent les comparaisons « minimum » et « maximum ». Il faut vérifier A* = A avant le calcul et choisir un autre résultat spectral si cette égalité échoue.
Pour aller plus loin
La fiche valeur propre précise la relation entre une direction conservée par une transformation et le facteur d'étirement associé.
La fiche matrice hermitienne détaille la symétrie conjuguée qui rend le spectre réel et autorise l'ordre utilisé ici.
La fiche Rayleigh (quotient de) développe la quantité optimisée par les deux formules variationnelles.
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