AlgèbreNotion · Glossaire
Rayleigh (quotient de)
Le quotient de Rayleigh associé à une matrice symétrique réelle A est le rapport x^T A x / (x^T x) pour un vecteur non nul x. Ce quotient prend des valeurs comprises entre la plus petite et la plus grande valeur propre de A. En particulier, le minimum du quotient de Rayleigh sur tous les vecteurs non nuls est la plus petite valeur propre, et le maximum est la plus grande. Cette caractérisation variationnelle, liée au théorème min-max de Courant-Fischer, est fondamentale pour l'analyse spectrale et l'optimisation quadratique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir le quotient pour une matrice symétrique réelle et un vecteur non nul.
- Calculer exactement le quotient sur un exemple en dimension deux.
- Relier son minimum et son maximum aux valeurs propres extrêmes.
- Reconnaître les hypothèses et les cas où l’interprétation doit être nuancée.
En clair
Prenons une matrice qui étire certaines directions plus que d’autres. Un vecteur indique une direction à tester. Le quotient de Rayleigh compare alors l’effet de la matrice dans cette direction à la longueur du vecteur.
Le résultat ne dépend pas de la longueur choisie : doubler le vecteur ne change pas le quotient. En faisant varier sa direction, on reste entre deux valeurs extrêmes. Pour une matrice symétrique réelle, ces bornes sont précisément sa plus petite et sa plus grande valeur propre.
Définition
Soit A une matrice carrée symétrique à coefficients réels, et soit x un vecteur réel non nul de taille compatible. Le quotient de Rayleigh de A en x est le nombre réel défini par . Le numérateur est la forme quadratique associée à A ; le dénominateur est le carré de la norme euclidienne de x, donc il est strictement positif.
Multiplier x par un réel non nul ne modifie pas le quotient. Celui-ci dépend donc de la direction de x, et il suffit de l’étudier sur les vecteurs de norme 1. Si λmin et λmax sont respectivement la plus petite et la plus grande valeur propre de A, alors . Les deux bornes sont atteintes : un vecteur propre associé à λmin donne le minimum, et un vecteur propre associé à λmax donne le maximum.
Cette description est variationnelle : elle retrouve les valeurs propres extrêmes par une optimisation sur les directions, sans les confondre avec toutes les valeurs prises par le quotient. Elle constitue le premier niveau de la caractérisation min-max de Courant-Fischer.
Un exemple, pas à pas
On considère la matrice symétrique réelle A, diagonale de coefficients 1 et 3, et le vecteur non nul x de coordonnées (3, 4). Les valeurs propres de A sont 1 et 3.
1. Le produit de A par x a pour coordonnées (3, 12).
2. Le numérateur vaut 3 × 3 + 4 × 12 = 57.
3. Le dénominateur vaut 32 + 42 = 25. On obtient donc .
Le contrôle est immédiat : 2,28 appartient bien à l’intervalle [1 ; 3]. Le vecteur x n’est dirigé selon aucun des deux axes propres, donc le quotient n’atteint ici aucune borne. La direction normalisée (3/5, 4/5) montre que seule l’orientation compte.
En pratique
Pour encadrer les valeurs propres extrêmes d’une matrice symétrique, on choisit un vecteur test et on calcule son quotient. Le résultat fournit aussitôt une valeur comprise entre les deux extrêmes ; il ne suffit toutefois pas, à lui seul, à déterminer chaque borne.
Pour rechercher une direction extrême, on fait varier un vecteur de norme 1 et on observe le quotient. Un minimum conduit à une direction propre associée à la plus petite valeur propre ; un maximum conduit à la plus grande.
Pour étudier une forme quadratique, le signe des quotients est révélateur. Si tous sont positifs, toutes les valeurs propres sont positives ; si des directions donnent des signes opposés, la forme possède des directions de comportements différents.
À ne pas confondre
Avec une valeur propre. Une valeur propre λ vérifie une relation de la forme Ax = λx pour au moins un vecteur non nul x. Le quotient de Rayleigh, lui, existe pour toute direction non nulle. Dans l’exemple, 2,28 est un quotient mais n’est pas une valeur propre, puisque les seules valeurs propres sont 1 et 3.
Avec la forme quadratique. Pour tout réel non nul α, remplacer x par αx multiplie le numérateur xTAx et le dénominateur xTx par α². Le quotient reste donc invariant par changement d’échelle. Ainsi, remplacer (3, 4) par (6, 8) multiplie les deux termes par 4, mais conserve 2,28.
Avec la loi de Rayleigh. Cette loi est une distribution de probabilités, tandis que le quotient étudié ici est un rapport associé à une matrice et à un vecteur. La présence d’une densité ou d’une variable aléatoire signale que l’on parle de la loi, pas du quotient.
Limites et pièges
Vecteur nul. Pour x = 0, le numérateur et le dénominateur valent tous deux 0 : le rapport n’est pas défini. Il faut choisir un vecteur non nul avant tout calcul.
Symétrie indispensable à l’encadrement annoncé. Pour une matrice réelle non symétrique, les valeurs propres peuvent ne pas être toutes réelles et l’intervalle [λmin ; λmax] peut ne pas avoir de sens. L’énoncé variationnel de cette fiche s’applique aux matrices symétriques réelles.
Extrême non unique. Si la plus grande valeur propre est multiple, plusieurs directions propres distinctes donnent le même maximum. Le quotient détermine alors un sous-espace propre extrême, pas nécessairement une direction unique.
Stationnaire ne signifie pas toujours extrême global. Sur la sphère unité, chaque direction propre est un point stationnaire du quotient. Une valeur propre intermédiaire peut correspondre à un point selle ; seules la plus petite et la plus grande donnent les extrêmes globaux.
Pour aller plus loin
La fiche valeur propre précise la relation Ax = λx qui caractérise les directions où le quotient atteint une valeur spectrale.
La fiche Vecteur propre approfondit les directions particulières qui réalisent les extrema du quotient de Rayleigh.
La fiche Spectral (théorème) situe la diagonalisation des matrices symétriques derrière l’encadrement par les valeurs propres.
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