Kantorovitch (inégalité de)

Imaginez une transformation qui étire peu dans une direction et beaucoup dans une autre. Un vecteur oblique subit à la fois ces deux effets. L’inégalité de Kantorovitch garantit que le rapport entre les étirements extrêmes suffit à plafonner un produit de deux mesures complémentaires, l’une calculée avec la transformation et l’autre avec son inverse.

Plus les étirements extrêmes sont proches, plus le plafond est bas. Un fort déséquilibre l’élève : c’est ainsi que l’inégalité traduit l’effet du conditionnement d’une matrice.

L’inégalité de Kantorovitch porte sur une matrice réelle $AA$, symétrique et définie positive. Ses valeurs propres sont donc strictement positives. On note ${\lambda }_{\min }\backslash lambda\_\{\backslash min\}$ la plus petite et ${\lambda }_{\max }\backslash lambda\_\{\backslash max\}$ la plus grande. Pour tout vecteur réel non nul $xx$, elle compare les formes quadratiques associées à la matrice et à son inverse. La lettre T en exposant désigne la transposée du vecteur. Chacune de ces formes quadratiques produit un nombre strictement positif.

Le quotient de gauche ne change pas quand on multiplie le vecteur par un nombre non nul. Pour un vecteur unitaire, son dénominateur vaut donc 1. Le membre de droite ne dépend que des deux valeurs propres extrêmes, ou, de façon équivalente, du rapport $\kappa ={\lambda }_{\max }\mathrm{/}{\lambda }_{\min }\backslash kappa=\backslash lambda\_\{\backslash max\}/\backslash lambda\_\{\backslash min\}$, qui est le conditionnement spectral de $AA$.

Soit $AA$ une matrice réelle symétrique définie positive. Si ses valeurs propres extrêmes sont , alors tout vecteur unitaire $xx$ vérifie :

Les deux facteurs de gauche sont des nombres positifs calculés avec la matrice et son inverse. La borne est d’autant plus grande que le conditionnement spectral ${\lambda }_{\max }\mathrm{/}{\lambda }_{\min }\backslash lambda\_\{\backslash max\}/\backslash lambda\_\{\backslash min\}$ est élevé, c’est-à-dire que les valeurs propres extrêmes sont déséquilibrées multiplicativement.

La forme donnée s’applique à une matrice réelle carrée, symétrique et définie positive. Il faut donc vérifier que toutes ses valeurs propres sont strictement positives. Cette condition assure notamment l’existence de la matrice inverse et fournit deux valeurs extrêmes positives. Le vecteur peut être quelconque s’il est non nul ; on le normalise lorsque l’énoncé est écrit pour un vecteur unitaire.

Si la matrice possède une valeur propre nulle, son inverse n’existe pas et le terme faisant intervenir $A^{-1}A^\{-1\}$ est bloqué. Il faut alors restreindre le problème à un sous-espace où la matrice est inversible, ou employer un résultat adapté aux matrices seulement positives. Une matrice non symétrique ne relève pas non plus directement de cet énoncé spectral.

On choisit une matrice diagonale dont les valeurs propres sont 1 et 4, puis un vecteur unitaire ayant la même composante dans les deux directions propres. Ce choix partage à parts égales le vecteur entre les deux étirements extrêmes, au lieu de l’aligner sur une seule direction. Les projections égales rendent ce partage directement visible. Données : ${\lambda }_{\min }=1\backslash lambda\_\{\backslash min\}=1$, ${\lambda }_{\max }=4\backslash lambda\_\{\backslash max\}=4$ et $x=(1\mathrm{/}\sqrt{2},1\mathrm{/}\sqrt{2}{)}^{\mathsf{T}}x=(1/\backslash sqrt\{2\},1/\backslash sqrt\{2\})^\{\backslash mathsf\; T\}$.

1. La norme au carré de $xx$ vaut $1\mathrm{/}2+1\mathrm{/}2=11/2+1/2=1$ : le vecteur est bien unitaire.

2. La première forme quadratique vaut $x^{\mathsf{T}}Ax=1\mathrm{/}2+4\mathrm{/}2=5\mathrm{/}2x^\{\backslash mathsf\; T\}Ax=1/2+4/2=5/2$. La seconde vaut $x^{\mathsf{T}}{A}^{-1}x=1\mathrm{/}2+1\mathrm{/}8=5\mathrm{/}8x^\{\backslash mathsf\; T\}A^\{-1\}x=1/2+1/8=5/8$.

3. Leur produit est $(5\mathrm{/}2)(5\mathrm{/}8)=25\mathrm{/}16(5/2)(5/8)=25/16$.

4. Contrôle. La borne vaut aussi $(4+1{)}^2\mathrm{/}(4\cdot 4\cdot 1)=25\mathrm{/}16(4+1)^2/(4\backslash cdot4\backslash cdot1)=25/16$. L’égalité est atteinte dans cet exemple, ce qui montre que la constante de la borne est optimale en général.

Dans l’analyse de la méthode du gradient appliquée à une fonction quadratique, l’inégalité relie la diminution obtenue aux valeurs propres extrêmes de la matrice. On estime ces valeurs pour anticiper l’effet d’un mauvais conditionnement sur la convergence.

Pour contrôler rapidement une expression contenant une matrice positive et son inverse, on peut remplacer un calcul dépendant du vecteur par la borne de Kantorovitch. Si le spectre complet est disponible et qu’une valeur plus fine est nécessaire, le calcul direct pour le vecteur considéré reste préférable.

Avec le quotient de Rayleigh. Le quotient de Rayleigh utilise une seule forme quadratique, $x^{\mathsf{T}}Ax\mathrm{/}(x^{\mathsf{T}}x)x^\{\backslash mathsf\; T\}Ax/(x^\{\backslash mathsf\; T\}x)$, et l’encadre entre les valeurs propres extrêmes. L’inégalité de Kantorovitch porte au contraire sur le produit des expressions associées à $AA$ et $A^{-1}A^\{-1\}$. La présence de l’inverse tranche immédiatement.

Avec le nombre de conditionnement. Le conditionnement spectral est le rapport ${\lambda }_{\max }\mathrm{/}{\lambda }_{\min }\backslash lambda\_\{\backslash max\}/\backslash lambda\_\{\backslash min\}$, donc un nombre attaché à la matrice. L’inégalité de Kantorovitch est une borne valable pour chaque vecteur non nul ; son membre de droite est une fonction de ce conditionnement.

Valeur propre nulle. Dès que ${\lambda }_{\min }=0\backslash lambda\_\{\backslash min\}=0$, la matrice n’est plus inversible : la formule affichée n’a plus de sens. Il faut changer de domaine ou de résultat, et non remplacer simplement le zéro dans la borne.

Matrice parfaitement conditionnée. Si les deux valeurs propres extrêmes sont égales, la matrice est un multiple positif de l’identité et la borne vaut exactement 1. Le produit normalisé vaut alors 1 pour tout vecteur non nul.

Borne globale, valeur locale. Une grande valeur du membre de droite n’implique pas que chaque vecteur produise un grand produit. Elle signale seulement ce qui est possible à partir des valeurs propres extrêmes. Pour un vecteur fixé, il faut calculer les deux formes quadratiques si l’on veut la valeur effective.

Normalisation oubliée. La formule sans dénominateur suppose $x^{\mathsf{T}}x=1x^\{\backslash mathsf\; T\}x=1$. Si le vecteur n’est pas unitaire, il faut diviser le produit par $(x^{\mathsf{T}}x{)}^2(x^\{\backslash mathsf\; T\}x)^2$, faute de quoi une simple remise à l’échelle de $xx$ fausse la comparaison.

Conditionnement. Relie l’écart entre valeurs propres extrêmes à la sensibilité des calculs et à la convergence.

valeur propre. Précise les directions propres et les facteurs d’étirement dont la borne ne retient que les extrêmes.

Symétrique positive (matrice). Détaille la classe de matrices qui rend les formes quadratiques positives et l’inverse exploitable.