Hoffman-Wielandt (inégalité de)

Une matrice décrit un système, puis une petite modification change certains de ses coefficients. Ses valeurs propres peuvent alors se déplacer, comme des repères sur une règle graduée. L’inégalité de Hoffman-Wielandt compare ces déplacements à la taille totale de la modification.

Pour deux matrices hermitiennes, on range les valeurs propres dans le même ordre et on les associe deux à deux. La somme de leurs déplacements au carré ne peut pas dépasser l’énergie de la perturbation, mesurée par la norme de Frobenius au carré.

L’inégalité de Hoffman-Wielandt est un résultat de stabilité spectrale. Elle concerne deux matrices hermitiennes A et B de même ordre n. Leurs valeurs propres sont réelles. On note celles de A par ${\lambda }_1\le \cdots \le {\lambda }_n\backslash lambda\_1\; \backslash leq\; \backslash cdots\; \backslash leq\; \backslash lambda\_n$ et celles de B par ${\mu }_1\le \cdots \le {\mu }_n\backslash mu\_1\; \backslash leq\; \backslash cdots\; \backslash leq\; \backslash mu\_n$, chacune étant répétée selon sa multiplicité.

La norme de Frobenius d’une matrice est la racine carrée de la somme des carrés des modules de tous ses coefficients. Le résultat affirme :

Ainsi, une faible perturbation au sens de Frobenius interdit un grand déplacement global du spectre. Pour des matrices réelles symétriques, qui constituent un cas particulier des matrices hermitiennes, le même énoncé s’applique. La borne contrôle la somme quadratique des déplacements ; elle ne décrit pas séparément la cause de chaque déplacement.

Si A et B sont deux matrices hermitiennes de même ordre n, on range leurs valeurs propres réelles dans un même sens. On appelle ${\lambda }_i\backslash lambda\_i$ la i-ième valeur propre de A et ${\mu }_i\backslash mu\_i$ celle de B. Alors :

Le membre de droite est exactement le carré de la norme de Frobenius de A − B.

Les deux matrices doivent être carrées, de même ordre et hermitiennes. Dans le cas réel, « hermitienne » se réduit à « symétrique ». Il faut connaître leurs valeurs propres avec leurs multiplicités et les ranger toutes deux dans le même sens. La différence A − B fournit ensuite la perturbation dont on calcule la norme de Frobenius.

Une matrice non hermitienne peut avoir des valeurs propres complexes, sans ordre croissant naturel. L’appariement par rang utilisé ici est alors bloqué, même si les deux matrices ont la même taille. Il faut employer un résultat adapté au cadre considéré, par exemple une version avec appariement pour des matrices normales ou une autre borne de perturbation spectrale.

On considère deux matrices diagonales réelles, donc symétriques. Leurs coefficients diagonaux sont 1 et 4 pour A, puis 2 et 3 pour B. Leurs autres coefficients sont nuls.

2. Ranger les valeurs propres. Comme les matrices sont diagonales, les valeurs propres sont leurs coefficients diagonaux : ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=4\backslash lambda\_1=1,\backslash \; \backslash lambda\_2=4$ et ${\mu }_1=2,{\mu }_2=3\backslash mu\_1=2,\backslash \; \backslash mu\_2=3$.

4. Mesurer la perturbation. La différence A − B a pour diagonale −1 et 1 ; ses deux autres coefficients valent 0.

5. Contrôler. Le déplacement spectral total vaut 2 et la borne vaut 2. L’inégalité est donc vérifiée avec égalité. Le contrôle se refait en additionnant les quatre carrés des coefficients de A − B.

Dans un calcul numérique, on compare une matrice hermitienne théorique à sa version arrondie. La norme de Frobenius de leur différence fournit aussitôt un budget global pour le déplacement des valeurs propres. Si seule la plus grande variation individuelle importe, une borne adaptée à la norme opérateur peut être plus directe.

Pour contrôler une approximation, on calcule d’abord la différence coefficient par coefficient, puis la somme de leurs modules au carré. Une petite valeur certifie que les spectres sont proches en moyenne quadratique après rangement, sans devoir expliquer chaque valeur propre séparément.

Lorsqu’une matrice observée n’est pas hermitienne, le critère visible est l’échec de l’égalité avec sa transposée conjuguée. On ne lui applique pas automatiquement cette forme ordonnée ; on choisit alors une borne correspondant à la structure réellement disponible.

Avec une borne valeur propre par valeur propre. Hoffman-Wielandt contrôle la somme des carrés de tous les déplacements par la norme de Frobenius. Une estimation fondée sur la norme opérateur peut, elle, borner séparément chaque différence ordonnée. Le critère qui tranche est donc la quantité à contrôler : bilan quadratique global ou pire déplacement individuel.

Avec une estimation pour matrices non normales. L’hermiticité garantit ici des valeurs propres réelles et un rangement canonique. Pour une matrice diagonalisable mais non normale, la sensibilité peut aussi dépendre du conditionnement de ses vecteurs propres. L’absence d’hermiticité empêche donc de transposer directement le calcul ordonné de cette fiche.

Ordres opposés. Ranger un spectre dans l’ordre croissant et l’autre dans l’ordre décroissant crée artificiellement de grands écarts. Le symptôme est un appariement des extrêmes. Il faut employer le même sens pour les deux listes.

Valeurs propres multiples. Une valeur répétée doit apparaître autant de fois que sa multiplicité. Si une matrice d’ordre n ne fournit pas exactement n valeurs dans la liste, comptées avec répétition, le calcul est incomplet.

Mauvaise norme. Le membre de droite additionne les carrés des modules de tous les coefficients de A − B. Remplacer cette norme de Frobenius par une autre norme sans changer l’énoncé n’est pas justifié. Dans l’exemple, le seuil exact est 2 pour les deux membres.

Lecture réciproque. La borne est à sens unique. Un petit déplacement des valeurs propres ne force pas A et B à être proches coefficient par coefficient : deux matrices hermitiennes différentes peuvent avoir exactement le même spectre. Il ne faut donc pas déduire une petite norme de Frobenius à partir du seul membre de gauche.

La fiche valeur propre précise l’objet spectral dont Hoffman-Wielandt mesure le déplacement.

La fiche matrice hermitienne présente la structure qui rend les valeurs propres réelles et ordonnables.

La fiche Spectre replace la liste complète des valeurs propres dans son vocabulaire général.

La fiche norme aide à interpréter la mesure de taille utilisée pour quantifier la perturbation matricielle.