Spectre

Prenons une matrice qui transforme des vecteurs. Pour la plupart des nombres λ, retrancher λ sur sa diagonale donne une transformation encore réversible. Pour quelques valeurs particulières, cette transformation n'est plus réversible : ces valeurs forment le spectre.

Avec une matrice de taille finie, ces valeurs sont précisément ses valeurs propres. Pour un opérateur agissant sur un espace de fonctions, le spectre peut aussi contenir des valeurs qui ne sont pas des valeurs propres.

Soit A un opérateur linéaire borné sur un espace de Banach complexe, et soit I l'opérateur identité. Le spectre de A est l'ensemble des nombres complexes λ pour lesquels A − λI n'admet pas d'inverse borné défini sur tout l'espace. Son complément est l'ensemble résolvant ; pour chaque λ de ce complément, l'inverse de A − λI est la résolvante.

Le spectre ponctuel rassemble les λ pour lesquels A − λI n'est pas injectif : ce sont les valeurs propres. Dans la convention usuelle, le spectre continu rassemble les λ pour lesquels A − λI est injectif et a une image dense, mais n'est pas surjectif. Le spectre résiduel rassemble alors les λ pour lesquels A − λI est injectif, mais son image n'est pas dense.

Pour une matrice carrée, l'espace est de dimension finie : le spectre se réduit exactement aux valeurs propres, obtenues lorsque le déterminant de A − λI s'annule. Pour un opérateur borné sur un espace de Hilbert complexe, le spectre est une partie compacte et non vide du plan complexe.

Considérons la matrice carrée A dont la première ligne vaut 2, 1 et la seconde 0, 3. Nous cherchons les nombres λ de son spectre. Les données sont donc A, l'identité I de taille 2 et le scalaire inconnu λ.

1. Écrivons la matrice A − λI, puis son déterminant :

2. L'opérateur n'est pas inversible lorsque ce déterminant est nul. Il faut donc résoudre :

3. Les deux solutions exactes sont λ = 2 et λ = 3. Le spectre de A est donc l'ensemble {2, 3}.

Le contrôle consiste à remplacer λ par 2, puis par 3 : dans chaque cas, l'un des facteurs du déterminant devient nul. Le repérage de ces deux zéros sur l'axe réel visualise exactement le résultat du calcul.

Pour une matrice carrée, on calcule d'abord le polynôme caractéristique, puis ses racines. Si l'on veut seulement savoir si un nombre donné appartient au spectre, tester l'inversibilité de A − λI évite de déterminer toutes les valeurs propres.

Pour un opérateur sur un espace de fonctions, chercher seulement des vecteurs propres peut manquer une partie du spectre. Il faut aussi examiner si A − λI est surjectif et si son image est dense.

Quand A − λI possède un inverse borné sur tout l'espace, λ appartient à l'ensemble résolvant plutôt qu'au spectre. Ce test donne une alternative nette à la seule recherche de valeurs propres.

Spectre et ensemble des valeurs propres. Ils coïncident pour une matrice carrée, mais pas nécessairement pour un opérateur sur un espace de dimension infinie. Une valeur λ peut appartenir au spectre même si aucun vecteur non nul ne vérifie A(v) = λv.

Spectre et ensemble résolvant. Ils sont complémentaires. Si A − λI possède un inverse borné défini partout, λ est dans l'ensemble résolvant ; sinon, λ est dans le spectre.

La dimension finie masque deux composantes. Pour une matrice carrée, injectivité et surjectivité sont équivalentes. Le spectre continu et le spectre résiduel n'y apparaissent donc pas ; il faut les rechercher seulement dans le cadre infini.

L'absence de vecteur propre ne suffit pas. Si A − λI est injectif mais non surjectif, λ peut encore appartenir au spectre. Il faut alors tester la densité de l'image pour distinguer les composantes continue et résiduelle.

Les conventions de classement peuvent varier. Certains textes regroupent autrement les défauts de surjectivité. Il faut vérifier la définition adoptée ; ici, « continu » signifie image dense et « résiduel » image non dense.

Le corps de base compte. La propriété de compacité et de non-vacuité s'énonce naturellement pour un opérateur borné sur un espace de Banach complexe. Sur un espace réel, on passe souvent à la complexification avant de parler du spectre complexe.

La fiche valeur propre approfondit le cas où A − λI possède un noyau non réduit au vecteur nul.

La fiche Résolvante étudie l'inverse de A − λI lorsque λ se trouve hors du spectre.