Sous-espace spectral

Imaginez une transformation qui agit sur trois directions : deux sont liées à la valeur propre 2, la troisième à la valeur propre 5. On peut isoler les deux premières directions sans toucher à la troisième. Leur ensemble forme le sous-espace spectral associé à 2.

Pour une matrice, ce regroupement inclut aussi les vecteurs propres généralisés. Pour un opérateur plus abstrait, un contour tracé dans le plan complexe sépare la partie choisie du spectre et produit le projecteur qui extrait le bon sous-espace.

Soit un opérateur linéaire borné T sur un espace de Banach complexe X. Une partie S de son spectre doit être isolée du reste du spectre par un contour fermé orienté positivement Γ, ou par plusieurs contours orientés positivement, tous situés dans l'ensemble résolvant. L'intérieur des contours contient exactement S parmi les points du spectre.

La résolvante au point complexe z est l'opérateur inverse de zI − T, où I est l'identité de X. Le projecteur spectral associé à S est défini par $P_S=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}(zI-T{)}^{-1}dzP\_S=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}\backslash int\_\{\backslash Gamma\}(zI-T)^\{-1\}\backslash ,dz$. Le sous-espace spectral est l'image de ce projecteur, c'est-à-dire $X_S=\mathrm{Ran}(P_S)X\_S=\backslash operatorname\{Ran\}(P\_S)$. Il est fermé et invariant par T. Le projecteur ne dépend pas du contour choisi tant que celui-ci conserve la même séparation spectrale.

En dimension finie, si S rassemble certaines valeurs propres d'une matrice A, le sous-espace spectral est la somme directe de leurs sous-espaces caractéristiques. Pour une valeur propre λ, le sous-espace caractéristique est le noyau d'une puissance suffisamment grande de A − λI. Il peut donc être plus grand que le seul espace propre.

La construction mobilise cinq éléments. L'opérateur borné T agit sur l'espace de Banach complexe X. Son spectre rassemble les nombres complexes z pour lesquels zI − T n'est pas inversible. La partie S sélectionne les composantes spectrales à conserver.

Un contour Γ orienté positivement sépare S du reste du spectre et reste dans l'ensemble résolvant, afin que l'inverse de zI − T existe tout le long du trajet. L'intégrale de cette résolvante construit alors le projecteur P_S. Sa valeur dépend de l'opérateur et de la séparation spectrale, pas de la forme précise du contour admissible orienté positivement.

Enfin, l'image de P_S est le sous-espace spectral X_S, tandis que son noyau correspond à la partie spectrale complémentaire. Ces deux espaces donnent une décomposition de X en sous-espaces fermés invariants lorsque S est ainsi séparée.

Considérons une matrice A de taille 3, le sous-ensemble spectral S = {2} et la base standard formée des vecteurs e₁, e₂ et e₃. La matrice comporte un bloc de Jordan de taille 2 pour la valeur propre 2 et un bloc de taille 1 pour la valeur propre 5.

1. Les données s'écrivent :

2. La valeur propre 2 a pour espace propre la droite engendrée par e₁, mais son sous-espace caractéristique est plus grand :

3. La valeur propre 5 correspond à span(e₃), donc l'espace se décompose en span(e₁, e₂) ⊕ span(e₃). Le projecteur spectral garde la composante dans le premier sous-espace et supprime celle dans le second : il conserve les deux premières coordonnées et annule la troisième.

4. On obtient donc X_S = span(e₁, e₂). Le contrôle est direct : P_S² = P_S, AP_S = P_SA, et la restriction de A à ce plan n'a que 2 dans son spectre.

Pour une matrice, on regroupe les modes associés à certaines valeurs propres. Si la matrice n'est pas diagonalisable, on conserve les vecteurs propres généralisés ; se limiter aux seuls vecteurs propres ferait perdre une partie du bloc de Jordan.

Pour un opérateur sur un espace de Banach, on choisit une composante du spectre séparée des autres. Le projecteur de Riesz est préféré à une diagonalisation lorsque celle-ci n'existe pas ou que l'espace est de dimension infinie.

Dans une étude de stabilité, la séparation spectrale sert à isoler les comportements portés par une zone choisie du plan complexe. Si aucun contour ne sépare cette zone du reste du spectre, cette construction par projection spectrale n'est pas disponible.

Espace propre. Il est formé des vecteurs annulés par A − λI. Le sous-espace spectral associé à λ contient tout le sous-espace caractéristique. Dans l'exemple, l'espace propre de 2 est span(e₁), tandis que le sous-espace spectral est span(e₁, e₂).

Sous-espace invariant quelconque. Un sous-espace invariant est seulement stable sous l'action de l'opérateur. Il n'est spectral que s'il provient d'une séparation du spectre par le projecteur associé. Pour une matrice identité, toute droite est invariante, mais la seule valeur propre ne permet pas d'isoler chacune de ces droites par un contour.

Sous-espace propre d'une matrice normale. Dans ce cas particulier, les sous-espaces spectraux associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Cette orthogonalité ne caractérise pas les sous-espaces spectraux d'un opérateur borné général.

Partie non isolée. Une partie arbitraire du spectre ne détermine pas toujours un projecteur de Riesz. Si tout contour qui voudrait l'entourer rencontre le spectre ou enferme aussi d'autres points spectraux, l'intégrale requise n'est pas définie comme projection sur cette seule partie.

Contour à orientation inversée. La convention positive, dans le sens trigonométrique, est indispensable. Inverser l'orientation change le signe de l'intégrale ; le résultat n'est alors plus le projecteur spectral annoncé.

Absence d'orthogonalité. Pour un opérateur non normal sur un espace de Hilbert, le projecteur spectral peut être oblique. Il faut vérifier l'idempotence et la commutation avec l'opérateur, sans supposer que le projecteur est orthogonal.

Cas vide ou total. Si S est vide, le projecteur vaut 0 et le sous-espace spectral est réduit au vecteur nul. Si S est tout le spectre et qu'un contour admissible l'entoure, le projecteur vaut I et le sous-espace spectral est X tout entier.

Le spectre précise quels nombres complexes peuvent être isolés par un contour.

La résolvante explique l'opérateur inverse intégré le long de ce contour.

Les projecteurs spectraux détaillent l'outil qui extrait chaque composante invariante.

La fiche sur l'espace de Banach fournit le cadre complet et normé des opérateurs bornés.

La valeur propre permet de retrouver le cas matriciel et ses sous-espaces caractéristiques.