Projecteurs spectraux

Imaginez une transformation qui étire le plan suivant deux directions privilégiées. Un projecteur spectral isole la part d'un vecteur située dans l'une de ces directions. On peut alors étudier séparément chaque étirement, puis réunir les résultats.

Chaque direction est associée à une valeur propre. Les projecteurs correspondants découpent tout vecteur en composantes indépendantes : leur somme restitue le vecteur initial et deux composantes distinctes ne se recouvrent pas.

Soit un opérateur linéaire diagonalisable, noté A, dont les valeurs propres distinctes sont notées λ. Le projecteur spectral P_λ envoie chaque vecteur sur sa composante dans le sous-espace propre associé à λ, parallèlement à la somme des autres sous-espaces propres. Il vérifie P_λ² = P_λ. Pour deux valeurs propres distinctes λ et μ, les projecteurs s'annulent mutuellement : P_λP_μ = 0. Leur somme est l'identité.

La décomposition spectrale reconstitue alors l'opérateur à partir de son action sur chaque sous-espace propre :

Dans un espace de Hilbert, si A est normal, ces projecteurs sont aussi orthogonaux au sens géométrique : leurs images sont deux à deux orthogonales. Pour un opérateur diagonalisable qui n'est pas normal, les relations algébriques précédentes subsistent, mais les images des projecteurs ne sont pas nécessairement perpendiculaires. Lorsque le spectre n'est pas une liste discrète de valeurs propres, le théorème spectral remplace la somme par une intégrale relativement à une mesure spectrale, notée E : $A=\int \lambda dE(\lambda )A=\backslash int\; \backslash lambda\backslash ,dE(\backslash lambda)$.

Considérons l'opérateur du plan représenté, dans la base usuelle, par une matrice symétrique. Les données sont les coefficients 3 sur la diagonale et 1 hors diagonale, ainsi que le vecteur v de coordonnées (3, 1).

1. Lorsque le nombre t varie, les vecteurs de la forme (t, −t) sont multipliés par 2, tandis que ceux de la forme (t, t) sont multipliés par 4. Les valeurs propres sont donc 2 et 4.

2. Pour retrouver les projecteurs, écrivons (x, y) = a(1, −1) + b(1, 1). Les deux coordonnées donnent a + b = x et −a + b = y, donc a = (x − y)/2 et b = (x + y)/2. Le premier projecteur conserve a(1, −1), le second b(1, 1) :

3. En notant I l'identité, l'addition donne P₂ + P₄ = I et leur produit donne P₂P₄ = 0. La reconstruction s'écrit :

4. Pour le vecteur v = (3, 1), les deux composantes sont P₂v = (1, −1) et P₄v = (2, 2). Leur addition redonne bien v. La décomposition en deux directions propres est représentée par la figure.

Enfin, A agit séparément sur ces composantes : 2(1, −1) + 4(2, 2) = (10, 6). Le contrôle direct par la matrice donne aussi A(3, 1) = (10, 6).

Pour calculer une puissance d'exposant entier n ≥ 1 d'une matrice diagonalisable, on élève séparément ses valeurs propres : $A^n={\sum }_{\lambda }{\lambda }^n{P}_{\lambda }A^n=\backslash sum\_\{\backslash lambda\}\backslash lambda^nP\_\{\backslash lambda\}$. Cette voie est préférable à des multiplications répétées lorsque les projecteurs sont déjà connus.

Pour résoudre une évolution linéaire, chaque projecteur extrait un mode qui évolue à son propre rythme. Si l'opérateur n'est pas diagonalisable, cette séparation ne suffit plus : une décomposition faisant apparaître les blocs de Jordan devient nécessaire en dimension finie.

Dans le calcul fonctionnel, une fonction f agit valeur propre par valeur propre : $f(A)={\sum }_{\lambda }f(\lambda )P_{\lambda }f(A)=\backslash sum\_\{\backslash lambda\}f(\backslash lambda)P\_\{\backslash lambda\}$. Pour un opérateur normal à spectre continu, la somme discrète est remplacée par l'intégrale donnée par sa mesure spectrale.

Projecteur spectral et valeur propre. Une valeur propre est un scalaire ; le projecteur spectral est un opérateur. Dans l'exemple, 2 est une valeur propre, tandis que P₂ transforme (3, 1) en (1, −1).

Projecteur spectral et sous-espace propre. Le sous-espace propre est un ensemble de vecteurs ; le projecteur est l'application qui extrait la composante appartenant à cet ensemble. Le premier est l'image du second.

Projection orthogonale et projecteur spectral. Un projecteur spectral d'un opérateur normal est une projection orthogonale. Pour un opérateur seulement diagonalisable, l'adjoint du projecteur P, noté P^*, peut différer de P : le projecteur spectral est alors oblique, même s'il vérifie P² = P.

Valeur propre multiple. Une valeur propre répétée ne crée pas plusieurs projecteurs spectraux. Dans le cas diagonalisable, un unique projecteur correspond à tout son sous-espace propre, dont la dimension peut être supérieure à 1. Dans le cas général, son image est le sous-espace propre généralisé associé.

Opérateur non diagonalisable. Si les sous-espaces propres ne couvrent pas tout l'espace, leur somme de projecteurs ne peut pas être l'identité. En dimension finie, il faut alors tenir compte des sous-espaces propres généralisés et de la partie nilpotente.

Orthogonalité mal interprétée. L'égalité P_λP_μ = 0 pour λ ≠ μ exprime une séparation algébrique. Elle ne garantit des sous-espaces perpendiculaires que dans un cadre muni d'un produit scalaire et sous une hypothèse telle que la normalité.

Spectre continu. Un opérateur normal sur un espace de Hilbert peut ne posséder aucune base de vecteurs propres. Il ne faut alors pas forcer une somme discrète : les projections sont indexées par des ensembles spectraux au moyen d'une mesure spectrale.

La fiche valeur propre précise le scalaire et le sous-espace sur lesquels chaque projecteur spectral s'appuie.

La fiche espace de Hilbert présente le cadre où orthogonalité, opérateurs normaux et mesure spectrale prennent leur sens géométrique.