Système de projecteurs

Imaginez un vecteur de l’espace ordinaire, décrit par trois coordonnées. Trois projecteurs peuvent n’en garder chacun qu’une : le premier conserve la coordonnée horizontale, le deuxième la verticale et le troisième la profondeur. Leurs résultats ne se chevauchent pas. En les additionnant, on retrouve exactement le vecteur de départ.

Un système de projecteurs organise ainsi l’espace en composantes indépendantes. Chaque projecteur extrait une composante, tandis que la famille entière ne perd aucune information.

Soit un espace vectoriel E et une famille finie ou dénombrable d’applications linéaires, notées P_i. Chacune est un projecteur : l’appliquer deux fois revient à l’appliquer une fois. La condition s’écrit $P_i^2=P_{i}P\_i^2=P\_i$. Deux projecteurs distincts doivent s’annuler lorsqu’on les compose : $P_i{P}_j=0(i\mathrm{\ne }j)P\_iP\_j=0\backslash quad(i\backslash ne\; j)$. Enfin, leur somme est l’application identité sur E.

Pour une famille finie de n projecteurs, la dernière condition est ${\sum }_{i=1}^n{P}_i=I_E\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}P\_i=I\_E$, où I_E laisse chaque vecteur inchangé. Pour une famille dénombrable, écrire la somme suppose de préciser le sens de sa convergence. Dans un espace de Hilbert, on demande usuellement que les sommes partielles convergent sur chaque vecteur.

Dans un espace de Hilbert, si les P_i sont des projecteurs orthogonaux, leurs images sont des sous-espaces deux à deux orthogonaux. Tout vecteur se décompose alors de façon unique en somme de composantes appartenant à ces images. Dans un simple espace vectoriel, la relation d’annulation fournit une somme directe algébrique, mais le mot « orthogonal » exige en plus une structure de produit scalaire.

Le support est d’abord un espace E. La famille indexée réunit ensuite les projecteurs P_i, chacun associé à son image, c’est-à-dire à la composante qu’il conserve. Le noyau d’un projecteur rassemble au contraire les vecteurs qu’il efface. L’application identité I_E sert enfin de total : la somme de toutes les composantes doit rendre le vecteur initial.

L’idempotence garantit qu’une composante déjà extraite ne change plus. L’annulation mutuelle empêche un projecteur de récupérer une composante attribuée à un autre. Avec la somme égale à l’identité, ces deux relations suffisent, pour une famille finie, à reconstruire chaque vecteur et à décomposer E en somme directe algébrique des images. Pour une famille dénombrable, il faut préciser l’ordre et le mode de convergence des sommes partielles : chaque vecteur est alors représenté par la série convergente de ses composantes, et non par une somme directe algébrique à support fini. Dans un espace de Hilbert, l’orthogonalité dépend aussi du produit scalaire ; elle ne vient ni du nom des axes ni d’un choix de dessin.

Dans ℝ³, prenons le vecteur v = (2, −1, 3). Les trois données sont les projecteurs de coordonnées : P₁ conserve la première coordonnée, P₂ la deuxième et P₃ la troisième.

1. On extrait les trois composantes :

2. On les additionne :

3. On contrôle l’absence de chevauchement. Par exemple, P₁(P₂(v)) = P₁(0, −1, 0) = (0, 0, 0). Le même contrôle fonctionne pour toute paire d’indices distincts.

Le résultat est vérifiable coordonnée par coordonnée : chaque valeur de v apparaît une seule fois, et leur somme restitue exactement v. La figure matérialise cette répartition sans modifier les longueurs ni les signes des trois composantes.

En algèbre linéaire, un système de projecteurs sert à isoler plusieurs sous-espaces complémentaires. On l’emploie lorsque chaque vecteur doit être séparé en composantes indépendantes puis reconstruit sans perte. Si les composantes se chevauchent, une simple famille de projecteurs ne suffit pas : il faut revoir la décomposition.

Dans un espace de Hilbert, lorsque les projecteurs sont orthogonaux, le système décrit une décomposition orthogonale. Le test observable est que les composantes extraites ont des produits scalaires nuls deux à deux. Pour des projecteurs obliques, comme en l’absence de produit scalaire, la décomposition n’est pas nécessairement orthogonale.

Pour le théorème spectral et la mécanique quantique, les projecteurs isolent des sous-espaces associés à des composantes distinctes. On vérifie toujours les trois points utiles : chaque application est idempotente, les compositions croisées s’annulent et la somme restitue l’identité.

Un projecteur isolé vérifie seulement que son carré est lui-même. Il ne forme pas à lui seul un système, sauf si ce projecteur est l’identité. Par exemple, le projecteur qui garde la première coordonnée de ℝ³ ne restitue pas un vecteur général.

Une décomposition en somme directe est une séparation algébrique en sous-espaces dont chaque vecteur possède une écriture unique. Elle devient orthogonale seulement si l’espace porte un produit scalaire et si les sous-espaces sont perpendiculaires deux à deux. Les axes obliques d’un plan peuvent donner une somme directe sans donner une décomposition orthogonale.

Le projeté orthogonal d’un vecteur est le résultat obtenu après application d’un projecteur orthogonal. Le système de projecteurs est la famille d’applications qui organise toutes les composantes, et non l’un de ces résultats particuliers.

Pour une famille dénombrable, le symbole de somme ne suffit pas. Il faut vérifier que les sommes partielles convergent vers le vecteur initial ; sinon, l’égalité avec l’identité n’a pas de sens déterminé dans l’espace considéré.

La relation P_iP_j = 0 pour des indices distincts exprime une annulation algébrique. Dans un espace vectoriel sans produit scalaire, elle ne permet pas de parler de perpendicularité. Il faut alors employer « projecteurs mutuellement annihilants » ou préciser une structure de Hilbert.

Des projecteurs idempotents dont la somme vaut l’identité ne constituent pas automatiquement un système si les compositions croisées ne s’annulent pas. Le symptôme est qu’une composante extraite peut encore contenir une part reconnue par un autre projecteur ; il faut contrôler chaque paire.

Le projecteur nul peut appartenir formellement à la famille : son image ne fournit aucune composante. Le retirer ne change ni la somme ni la décomposition utile. Ce cas dégénéré ne doit donc pas être compté comme une direction effective.

L’espace de Hilbert précise le cadre où distance, produit scalaire et orthogonalité donnent un sens géométrique aux composantes.

Le Spectral (théorème) montre pourquoi les décompositions par projecteurs jouent un rôle central dans l’étude des opérateurs normaux.