GéométrieThéorème · Glossaire
Supplémentaire orthogonal (théorème du)
Le théorème du supplémentaire orthogonal affirme que dans un espace de Hilbert H, tout sous-espace fermé F possède un supplémentaire orthogonal F⊥, et H est la somme directe orthogonale de F et F⊥. Tout vecteur de H se décompose donc de manière unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de F⊥. La projection orthogonale sur F est l'application linéaire qui associe à chaque vecteur de H sa composante dans F. Ce théorème est la base de la théorie de l'approximation dans les espaces de Hilbert.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses d’espace de Hilbert et de sous-espace fermé.
- Décomposer un vecteur en composantes orthogonales et vérifier l’unicité sur un exemple.
- Relier la projection orthogonale au problème de meilleure approximation.
- Reconnaître ce qui échoue lorsque le sous-espace n’est pas fermé.
En clair
Imaginez une flèche allant de l’origine au point (3, 2), au-dessus d’une droite horizontale. Elle se partage en une flèche horizontale allant jusqu’à (3, 0), puis une flèche verticale allant de (3, 0) à (3, 2). La première est sur la droite ; la seconde lui est perpendiculaire.
Le théorème affirme que ce partage existe et qu’il est unique dans un espace de Hilbert, dès que le sous-espace choisi est fermé. La composante située dans ce sous-espace est aussi le point qui approche le mieux la flèche de départ.
Définition
Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire et complet pour la norme associée. Soit H un tel espace et F un sous-espace vectoriel fermé de H. Le supplémentaire orthogonal de F, aussi appelé complément orthogonal et noté F⊥, rassemble les vecteurs de H dont le produit scalaire avec tout vecteur de F est nul.
Cette définition et la décomposition s’écrivent : et . Ainsi, pour chaque vecteur x de H, il existe un unique couple formé d’un vecteur p dans F et d’un vecteur q dans F⊥ tel que x = p + q.
L’application qui associe p à x est la projection orthogonale sur F. Le vecteur p est l’unique élément de F qui minimise la distance à x. La fermeture de F est indispensable en dimension infinie ; en dimension finie, tout sous-espace vectoriel est fermé.
Le principe
Si H est un espace de Hilbert et si F est un sous-espace vectoriel fermé de H, alors tout vecteur x de H admet une unique décomposition x = p + q, où p appartient à F et q appartient à F⊥.
La composante p est la projection orthogonale de x sur F, notée . Elle vérifie le critère d’approximation .
Quand l'utiliser
Le cadre doit être un espace de Hilbert : le produit scalaire donne un sens à l’orthogonalité, et la complétude garantit que toute suite de Cauchy converge dans l’espace. Le sous-espace F doit être vectoriel et fermé. Ces conditions donnent à la fois l’existence et l’unicité des deux composantes.
Si F n’est pas fermé, la conclusion peut échouer. Dans l’espace des suites de carré sommable, le sous-espace des suites à support fini est dense mais non fermé. Son orthogonal se réduit au vecteur nul : sa somme avec cet orthogonal ne contient donc pas toutes les suites de l’espace. Il faut alors remplacer F par son adhérence pour obtenir une décomposition orthogonale.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan euclidien ℝ², on choisit le sous-espace F formé par l’axe horizontal. Le vecteur à projeter est x = (3, 2). Les données sont donc F, le point (3, 2) et le produit scalaire usuel.
1. La composante de x située sur F conserve la coordonnée horizontale et annule la coordonnée verticale : p = (3, 0).
2. La composante restante vaut q = x − p = (0, 2).
3. Tout vecteur de F s’écrit f = (t, 0). Le produit scalaire de q et f vaut 0 × t + 2 × 0 = 0 ; q appartient donc à F⊥.
4. On retrouve exactement x = p + q = (3, 2).
2. La composante restante vaut q = x − p = (0, 2).
3. Tout vecteur de F s’écrit f = (t, 0). Le produit scalaire de q et f vaut 0 × t + 2 × 0 = 0 ; q appartient donc à F⊥.
4. On retrouve exactement x = p + q = (3, 2).
Le contrôle de meilleure approximation est refaisable : pour tout réel t, la distance au carré entre x et (t, 0) vaut . Le minimum 4 est atteint uniquement pour t = 3, donc p = (3, 0) est bien la projection orthogonale de x sur F.
En pratique
En approximation, on cherche dans un sous-espace F le vecteur le plus proche d’une donnée x. La projection orthogonale fournit ce meilleur représentant lorsque F est fermé. Si la famille de modèles n’est pas un sous-espace fermé, il faut d’abord étudier son adhérence ou employer un autre résultat d’existence.
Pour vérifier un calcul, on contrôle deux faits : la composante proposée appartient à F, et l’erreur x − p est orthogonale à tous les vecteurs de F. Dans l’exemple, (3, 0) est horizontal et l’erreur (0, 2) est verticale.
Dans un espace euclidien de dimension finie, une base orthonormée de F rend la projection calculable par produits scalaires. Avec une base non orthonormée, il faut résoudre les équations d’orthogonalité au lieu de recopier cette formule terme à terme.
À ne pas confondre
Un supplémentaire algébrique G de F vérifie H = F ⊕ G, mais ses vecteurs ne sont pas nécessairement orthogonaux à ceux de F. Dans ℝ², pour l’axe horizontal F, toute droite non horizontale est un supplémentaire algébrique ; seule la droite verticale est F⊥.
La projection orthogonale ne désigne pas n’importe quelle projection sur F. Une projection oblique peut aussi envoyer x sur F, mais son erreur suit une direction non perpendiculaire. Le test décisif consiste à vérifier que x − p appartient à F⊥.
Limites et pièges
La fermeture n’est pas un détail technique. Si F est seulement dense dans H, alors F⊥ peut se réduire au vecteur nul sans que F soit égal à H. Pour un vecteur hors de F, une suite d’éléments de F peut avoir des distances qui tendent vers l’infimum, sans que celui-ci soit atteint dans F. Il faut travailler avec l’adhérence de F.
Le symbole F⊥ dépend du produit scalaire choisi. Deux produits scalaires sur le même espace vectoriel peuvent donner des directions orthogonales et des projections différentes. Il faut donc identifier le produit scalaire avant tout calcul.
Les cas extrêmes restent cohérents : si F ne contient que le vecteur nul, alors F⊥ = H et la projection vaut zéro ; si F = H, alors F⊥ ne contient que le vecteur nul et la projection est l’identité. Ces cas ne contredisent ni l’existence ni l’unicité.
Pour aller plus loin
L’espace de Hilbert précise le cadre où complétude, produit scalaire et convergence rendent possible le théorème de projection.
La notion générale de projection aide à situer la projection orthogonale parmi les applications qui décomposent un vecteur selon deux sous-espaces supplémentaires.
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