espace de Hilbert

Imaginez une flèche que l’on décompose en une partie horizontale et une partie verticale. Dans un espace de Hilbert, cette géométrie reste possible même lorsque les objets sont des suites ou des fonctions plutôt que des flèches ordinaires. Un produit scalaire y mesure longueurs et angles, donc rend l’orthogonalité accessible.

Une garantie supplémentaire évite les « trous » : si les termes d’une suite se rapprochent indéfiniment les uns des autres, leur limite appartient encore à l’espace. Géométrie et complétude fonctionnent ainsi ensemble.

Un espace de Hilbert est un espace vectoriel, noté H, sur les nombres réels ou complexes. Il est muni d’un produit scalaire qui associe à deux vecteurs u et v le nombre $⟨u,v⟩\backslash langle\; u,v\backslash rangle$. Sur les réels, ce produit est bilinéaire, symétrique et défini positif. Sur les complexes, il est sesquilinéaire, conjugué-symétrique et défini positif ; selon la convention, il est linéaire dans le premier ou le second argument.

Le produit scalaire induit la norme d’un vecteur u : $\parallel u\parallel =\sqrt{⟨u,u⟩}\backslash lVert\; u\backslash rVert=\backslash sqrt\{\backslash langle\; u,u\backslash rangle\}$. La condition décisive est la complétude pour cette norme : toute suite de Cauchy de vecteurs de H converge vers un vecteur de H. Cette condition autorise les passages à la limite sans sortir de l’espace.

Tout espace de Hilbert est donc un espace de Banach. Son produit scalaire apporte en plus une géométrie : orthogonalité, projections orthogonales et bases hilbertiennes. En dimension finie, tout espace euclidien réel ou hermitien complexe est complet ; la complétude devient une condition véritablement discriminante en dimension infinie.

Cinq éléments structurent l’objet. Le corps des scalaires, réel ou complexe, fixe les coefficients. L’espace vectoriel H fournit l’addition et la multiplication par un scalaire. Le produit scalaire compare deux vecteurs. La norme induite mesure leur taille et leur distance. La complétude impose que les suites de Cauchy aient leur limite dans H.

Le produit scalaire détermine la norme, puis la norme détermine la notion de convergence utilisée par la complétude. Il détermine aussi l’orthogonalité : deux vecteurs u et v sont orthogonaux lorsque $⟨u,v⟩=0\backslash langle\; u,v\backslash rangle=0$. Ces données suffisent à calculer des distances, à décomposer un vecteur suivant des directions orthogonales et, sous les hypothèses adaptées, à construire une meilleure approximation par projection. Un dessin ou un choix de coordonnées représente cette structure, mais ne la définit pas.

Dans le plan réel ℝ² muni de son produit scalaire usuel, on projette le vecteur u = (3, 1) sur l’axe horizontal F. Les données sont donc u = (3, 1), F formé des vecteurs (x, 0), et les vecteurs de base e₁ = (1, 0) et e₂ = (0, 1).

1. La composante de u suivant e₁ vaut 3. Sa projection sur F est donc p = (3, 0).

2. Le résidu est r = u − p = (0, 1). Son produit scalaire avec tout vecteur (x, 0) de F vaut 0 : r est orthogonal à F.

3. Les longueurs vérifient $\parallel u{\parallel }^2=3^2+1^2=10\backslash lVert\; u\backslash rVert^2=3^2+1^2=10$, $\parallel p{\parallel }^2=9\backslash lVert\; p\backslash rVert^2=9$ et $\parallel r{\parallel }^2=1\backslash lVert\; r\backslash rVert^2=1$.

Le contrôle est l’identité de Pythagore : 10 = 9 + 1. La figure matérialise exactement cette décomposition orthogonale. Parmi les points de F, p est bien le plus proche de u ; toute autre abscisse ajoute un écart horizontal non nul.

En traitement du signal, une base hilbertienne décompose un signal en composantes orthogonales. On conserve les composantes utiles ou on compare leur énergie. Une représentation non orthogonale reste possible, mais elle rend les coefficients dépendants les uns des autres.

Pour approcher une donnée par un modèle linéaire, la projection sur un sous-espace fermé fournit le candidat le plus proche au sens de la norme. Si l’ensemble admissible n’est pas fermé, une distance minimale peut ne pas être atteinte ; on cherche alors une approximation ou on ferme l’ensemble.

En physique mathématique, notamment dans la formulation quantique, des états sont modélisés par des vecteurs d’un espace de Hilbert complexe. Le produit scalaire compare les états. Un simple espace normé ne suffit pas lorsque l’orthogonalité et les amplitudes associées sont indispensables.

Espace préhilbertien. Il possède un produit scalaire, mais il n’est pas nécessairement complet pour la norme induite. Si une suite de Cauchy n’a pas de limite dans l’espace, on a un espace préhilbertien non complet, pas un espace de Hilbert.

Espace de Banach. Il est complet pour une norme, mais cette norme ne provient pas toujours d’un produit scalaire. Le test du parallélogramme sépare les deux cas : une norme induite par un produit scalaire vérifie, pour tous vecteurs u et v, $\parallel u+v{\parallel }^2+\parallel u-v{\parallel }^2=2\parallel u{\parallel }^2+2\parallel v{\parallel }^2\backslash lVert\; u+v\backslash rVert^2+\backslash lVert\; u-v\backslash rVert^2=2\backslash lVert\; u\backslash rVert^2+2\backslash lVert\; v\backslash rVert^2$.

Convention complexe. Un produit scalaire complexe est conjugué-symétrique, et non symétrique au sens réel. Il faut annoncer quel argument est linéaire ; changer de convention conjugue certaines formules intermédiaires.

Complétude relative à la bonne norme. La complétude demandée concerne précisément la norme issue du produit scalaire choisi. Une autre norme sur le même espace vectoriel peut changer la convergence en dimension infinie.

Projection sur un ensemble non fermé. La meilleure approximation orthogonale est garantie sur un sous-espace fermé. Sans fermeture, une suite de candidats peut approcher l’infimum des distances sans qu’aucun candidat ne l’atteigne.

Base hilbertienne et base algébrique. Une base hilbertienne reconstruit les vecteurs par convergence de séries, pas nécessairement par une somme finie. En dimension infinie, il ne faut donc pas la traiter comme une base de Hamel.

Le produit scalaire détaille l’outil qui fait naître norme, angle et orthogonalité.

L’espace de Banach isole la complétude et montre ce qui subsiste sans géométrie euclidienne.

La suite de Cauchy précise le critère de rapprochement qui intervient dans la définition de la complétude.

La Base hilbertienne explique comment décomposer des vecteurs en une série de composantes orthogonales.