suite de Cauchy

Imaginez une suite de points sur une droite. Au début, ils peuvent être espacés. Plus on avance, plus tous les points restants se retrouvent serrés les uns contre les autres.

Une suite est dite de Cauchy lorsque ce resserrement peut devenir aussi fin qu'on le souhaite. Il ne suffit pas que deux termes consécutifs soient proches : après un certain rang, n'importe quels termes de la suite doivent l'être. Cette propriété permet de détecter une convergence possible sans connaître d'abord la valeur limite.

Soit un espace métrique E, c'est-à-dire un ensemble muni d'une distance d, et soit une suite de points x_n de E. La suite est de Cauchy si toute tolérance strictement positive finit par majorer la distance entre deux termes quelconques suffisamment avancés.

La tolérance est notée ε, le rang seuil est noté N, et p et q désignent deux rangs au moins égaux à ce seuil. La condition complète est :Le seuil N peut dépendre de ε, mais il doit convenir simultanément à tous les couples de rangs p et q qui l'atteignent ou le dépassent.

Pour la distance usuelle sur ℝ ou ℂ, la distance est donnée par la valeur absolue ou le module. Le critère de Cauchy y affirme qu'une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy. Dans un espace métrique quelconque, la convergence entraîne toujours la propriété de Cauchy, mais la réciproque exige que l'espace soit complet. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet ; ℝ et ℂ en sont des exemples. Enfin, la propriété de Cauchy dépend de la distance choisie, et pas seulement des ouverts de la topologie.

Quatre éléments font fonctionner la définition. La suite fournit les points x_n à comparer. La distance d mesure l'écart entre deux de ces points. La tolérance ε fixe un écart maximal, aussi petit qu'on le souhaite. Le rang seuil N délimite la portion de la suite où cet écart est garanti.

La distance donne donc un sens précis à la tolérance, tandis que la tolérance détermine jusqu'où il faut avancer pour choisir N. Une fois N fixé, la comparaison porte sur tous les couples x_p et x_q dont les rangs dépassent N, pas seulement sur deux voisins. Ces données suffisent à tester la propriété de Cauchy ; elles ne fournissent pas nécessairement un point limite appartenant à l'espace.

Considérons la suite réelle r_n, somme des n premiers termes 1/2, 1/4, 1/8, etc. Ses données sont un rang entier n ≥ 1 et la formule $r_n=1-2^{-n}r\_n=1-2^\{-n\}$. Vérifions la propriété pour la tolérance ε = 0,01.

1. Choisissons N = 7, car 2⁻⁷ = 1/128 = 0,0078125, donc 2⁻⁷ < 0,01.

2. Prenons deux rangs quelconques q > p ≥ N. Comme les termes augmentent, leur écart vaut :

3. Puisque p ≥ 7, on obtient 2^−p ≤ 2⁻⁷ < 0,01. Ainsi, tous les termes dont le rang atteint ou dépasse 7 sont deux à deux distants de moins de 0,01.

Le même raisonnement fonctionne pour toute tolérance positive : il suffit de choisir N tel que 2^−N soit plus petit qu'elle. La suite est donc de Cauchy.

Le tracé des huit premiers termes rend visible leur resserrement vers 1. Un contrôle direct donne r₇ = 127/128 = 0,9921875 et r₈ = 255/256 = 0,99609375, dont l'écart exact est 1/256 = 0,00390625.

Pour prouver la convergence d'une suite réelle ou complexe dont la limite est difficile à deviner, on majore directement l'écart entre deux termes avancés. Si cette majoration devient arbitrairement petite, le critère de Cauchy conclut à la convergence. Lorsque la limite est déjà connue, une preuve directe par l'écart à cette limite est souvent plus courte.

Dans un calcul approché, comparer plusieurs résultats successifs ne suffit pas toujours. Le bon geste consiste à borner l'écart entre tous les résultats futurs. Si seuls deux termes consécutifs sont proches, il faut chercher une borne globale sur la queue de la suite.

Dans un espace de fonctions ou de vecteurs, on précise d'abord la distance ou la norme employée. On vérifie ensuite que l'espace est complet avant de transformer le test de Cauchy en conclusion de convergence. Sans complétude, il faut passer à un espace complété ou prouver séparément que la limite appartient à l'espace.

Suite de Cauchy et suite convergente. Une suite convergente se rapproche d'un point précis de l'espace ; une suite de Cauchy impose seulement que ses termes avancés se rapprochent entre eux. Les deux notions coïncident dans un espace complet, mais pas dans tout espace métrique.

Suite de Cauchy et suite bornée. Toute suite de Cauchy est bornée, mais une borne ne garantit aucun resserrement. La suite réelle qui alterne entre −1 et 1 reste bornée, alors que deux termes de parité opposée restent distants de 2.

Suite de Cauchy et critère de Cauchy pour une série. Pour une série, le test porte sur la suite de ses sommes partielles. Il faut donc comparer des sommes de termes, et non appliquer directement la définition aux termes de la série.

Deux voisins proches ne suffisent pas. Le symptôme trompeur est un écart entre termes consécutifs qui tend vers 0. Il faut contrôler tous les couples de termes au-delà d'un même rang ; la suite des sommes partielles 1 + 1/2 + ⋯ + 1/n a des accroissements qui tendent vers 0, mais elle n'est pas de Cauchy dans ℝ.

Une limite peut manquer à l'espace. Dans l'espace des rationnels muni de la distance usuelle, les approximations décimales rationnelles de √2 forment une suite de Cauchy, sans converger vers un rationnel. Le bon réflexe est de vérifier la complétude de l'espace ; ici, le passage à ℝ fournit la limite.

La topologie seule ne fixe pas la propriété. Sur ℝ, la distance usuelle et la distance définie par |arctan(x) − arctan(y)| engendrent la même topologie. Pourtant, la suite des entiers positifs est de Cauchy pour la seconde et ne l'est pas pour la première. Il faut donc toujours identifier la métrique employée.

La notion conduit naturellement à la complétion d'un espace métrique : on agrandit l'espace afin que chaque suite de Cauchy y possède une limite. Dans un espace vectoriel normé, la complétude donne un espace de Banach. Ce cadre permet d'étudier des suites de fonctions ou de vecteurs avec la même logique, à condition de préciser la norme qui mesure leurs écarts.