AnalyseFormule · Glossaire
critère de Cauchy
Le critère de Cauchy est un critère de convergence des suites dans un espace métrique, applicable en particulier dans R et dans C. Son intérêt majeur réside dans le fait qu'il permet d'établir la convergence d'une suite sans avoir à identifier préalablement sa limite. Une suite est dite suite de Cauchy si ses termes deviennent arbitrairement proches les uns des autres à partir d'un certain rang, c'est-à-dire si, pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que pour tous indices p, q supérieurs à N on ait |u_p − u_q| < ε. L'énoncé central est le suivant : dans R, dans C et plus généralement dans tout espace métrique complet, une suite converge si et seulement si elle est une suite de Cauchy. Dans un espace métrique quelconque, toute suite convergente est de Cauchy, mais la réciproque n'est vraie que dans les espaces complets, tels que R, C ou les espaces de Banach. Par extension, on appelle parfois critère de Cauchy le théorème analogue portant sur la convergence des séries, plus couramment désigné par règle de Cauchy afin d'éviter toute confusion.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler la propriété de Cauchy avec ε, N et deux indices.
- Identifier la complétude comme condition de la réciproque.
- Refaire une vérification sur la suite u_n = 1/(n + 1).
- Distinguer le critère pour les suites de la règle analogue pour les séries.
En clair
Imaginez les termes d’une suite comme des points posés successivement sur une ligne. Au début, ils peuvent être éloignés. Puis vient un rang après lequel deux points choisis aussi loin que l’on veut dans la suite sont toujours très proches.
Le critère de Cauchy mesure ce resserrement entre les termes, sans demander où ils finissent par arriver. Dans R, dans C ou dans un espace complet, ce resserrement suffit pour affirmer que la suite converge.
Définition
Soit une suite dont le terme d’indice n est noté un, dans un espace métrique. La distance entre deux termes up et uq doit pouvoir devenir aussi petite qu’on le souhaite, à condition de choisir les deux indices p et q assez grands. Une telle suite est appelée suite de Cauchy.
En notant d la distance et ε une précision strictement positive, la définition s’écrit : . Dans R ou dans C, la distance est la valeur absolue |up − uq|. Le rang N peut dépendre de ε, mais il ne dépend ni de p ni de q.
Toute suite convergente est une suite de Cauchy dans n’importe quel espace métrique. La réciproque caractérise les espaces métriques complets : dans R, dans C et dans les espaces de Banach, toute suite de Cauchy converge. Le critère établit donc une convergence sans qu’il soit nécessaire de connaître d’abord la limite.
Le principe
Soit (un) une suite dans un espace métrique complet. Si, pour toute précision ε strictement positive, il existe un rang N tel que d(up, uq) < ε dès que p et q sont supérieurs ou égaux à N, alors la suite converge.
Réciproquement, dans tout espace métrique, une suite convergente vérifie cette condition. Dans un espace complet, convergence et propriété de Cauchy sont donc équivalentes.
Quand l'utiliser
Il faut disposer d’une suite et d’une distance permettant de comparer deux de ses termes. Pour chaque ε > 0, un même rang N doit convenir à toutes les paires d’indices p et q situées au-delà de ce rang. Comparer seulement des termes consécutifs ne suffit pas.
La propriété de Cauchy entraîne la convergence lorsque l’espace est complet. C’est le cas de R, de C et des espaces de Banach.
Dans un espace métrique non complet, une suite peut être de Cauchy sans converger dans cet espace. Le constat de resserrement reste alors vrai, mais il ne suffit plus : il faut un autre argument de convergence ou se placer dans un espace complet.
Un exemple, pas à pas
Considérons la suite réelle définie, pour tout entier naturel n, par un = 1/(n + 1). Vérifions directement la propriété de Cauchy avec la précision ε = 0,01, sans utiliser la valeur de sa limite.
Données. La précision demandée vaut 0,01. Les indices p et q seront tous deux supérieurs ou égaux à un rang N encore à choisir. Les termes sont positifs et décroissent quand leur indice augmente.
1. Pour p, q ≥ N, les deux nombres up et uq appartiennent à l’intervalle ]0 ; 1/(N + 1)].
2. Leur écart vérifie donc .
3. Prenons N = 100. Alors 1/(N + 1) = 1/101, soit environ 0,00990, ce qui est strictement inférieur à 0,01. Ainsi, toutes les paires d’indices p, q ≥ 100 satisfont |up − uq| < 0,01.
Le contrôle se refait en remplaçant 0,01 par une précision ε quelconque : il suffit de choisir un entier N tel que 1/(N + 1) < ε. La même borne vaut alors pour toutes les paires de termes de la suite à partir de N. La suite est donc de Cauchy.
En pratique
Dans R ou dans C, le critère est utile lorsque la limite présumée est difficile à identifier. On cherche alors une borne de |up − uq| qui tend vers zéro quand les deux indices grandissent.
Pour une suite donnée par une construction répétée, comparer deux termes éloignés peut être plus naturel que deviner un nombre limite. Si la même estimation fonctionne pour toutes les paires d’indices après un rang commun, la voie de Cauchy est adaptée.
Dans un espace de Banach, la complétude autorise le même raisonnement. Si l’espace n’est pas connu comme complet, il faut renoncer à cette conclusion automatique et prouver séparément que la limite reste dans l’espace considéré.
À ne pas confondre
Suite convergente et suite de Cauchy. Une suite convergente possède une limite dans l’espace considéré ; une suite de Cauchy satisfait d’abord une condition sur les écarts entre ses termes. Les deux notions coïncident dans un espace complet, mais pas nécessairement dans un espace métrique quelconque.
Critère pour les suites et règle pour les séries. Ici, on compare deux termes up et uq d’une suite. Pour une série, le théorème analogue porte sur ses sommes partielles ; l’expression « règle de Cauchy » évite l’ambiguïté.
Limites et pièges
Oublier la complétude. Si l’espace métrique n’est pas complet, la propriété de Cauchy n’autorise pas à annoncer une convergence dans cet espace. Il faut contrôler le cadre avant d’utiliser la réciproque.
Faire dépendre N des indices. Pour une précision ε fixée, un seul rang N doit convenir simultanément à tous les p et q supérieurs ou égaux à N. Choisir un nouveau rang pour chaque paire ne prouve rien.
Ne comparer que des voisins. Un petit écart entre un et un+1 ne contrôle pas automatiquement deux termes très éloignés. Il faut établir l’inégalité pour toutes les paires au-delà du même rang.
Traiter ε comme un seuil fixe. La vérification avec ε = 0,01 illustre le mécanisme, mais la définition exige chaque ε > 0. La preuve générale doit donc fournir un choix de N pour toute précision demandée.
Pour aller plus loin
suite de Cauchy — Approfondit la propriété de resserrement entre les termes et sa formulation avec ε et N.
espace de Banach — Présente le cadre complet où toute suite de Cauchy converge.
De la suite dans les idées — Replace les suites dans un parcours de lecture plus large.
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