Fermés emboîtés (théorème des)

Imaginez une suite de boîtes fermées, chacune placée dans la précédente. Elles ne sont jamais vides et leur largeur finit par devenir aussi petite qu'on le souhaite. Dans un espace complet, elles enferment alors toutes le même point, et aucun second point ne peut rester dans chaque boîte.

Le mot « fermé » empêche le point limite de s'échapper par le bord. La complétude garantit que ce point appartient bien à l'espace considéré.

Soit un espace métrique complet, c'est-à-dire un ensemble muni d'une distance dans lequel toute suite de Cauchy converge. On considère une suite de parties notées F₁, F₂, etc. Chaque partie est fermée et non vide, et la suite est décroissante : $F_{n+1}\subseteq F_{n}F\_\{n+1\}\; \backslash subseteq\; F\_n$ pour tout entier n au moins égal à 1.

Le diamètre d'une partie F_n est la borne supérieure des distances entre deux de ses points. L'hypothèse décisive est que ces diamètres tendent vers zéro : $\mathrm{diam}(F_n)⟶0\backslash operatorname\{diam\}(F\_n)\; \backslash longrightarrow\; 0$. Le théorème conclut qu'il existe un unique point appartenant à toutes les parties : ${\bigcap }_{n\ge 1}{F}_n=\{x\}\backslash bigcap\_\{n\backslash geq\; 1\}\; F\_n=\backslash \{x\backslash \}$.

Pour voir l'existence, on choisit un point x_n dans chaque F_n. Si les indices p et q sont au moins égaux à n, les points x_p et x_q appartiennent à F_n : leur distance est donc au plus égale à son diamètre. La suite ainsi choisie est de Cauchy, converge par complétude, et sa limite appartient à chaque F_n parce que ces ensembles sont fermés. L'unicité vient du diamètre qui tend vers zéro : deux points distincts communs à tous les F_n imposeraient une distance positive inférieure ou égale à chaque diamètre. Réciproquement, cette propriété des suites de fermés emboîtés caractérise les espaces métriques complets.

Si un espace métrique est complet et si une suite F₁, F₂, etc., est formée de fermés non vides vérifiant $F_{n+1}\subseteq F_{n}F\_\{n+1\}\; \backslash subseteq\; F\_n$ et $\mathrm{diam}(F_n)⟶0\backslash operatorname\{diam\}(F\_n)\; \backslash longrightarrow\; 0$, alors l'intersection de tous les F_n contient exactement un point. Autrement dit, l'emboîtement assure une cible commune, tandis que la disparition du diamètre impose son unicité.

Le théorème s'applique dans un espace métrique complet. Il faut vérifier trois points : chaque ensemble est non vide et fermé dans l'espace considéré ; chaque ensemble contient le suivant ; enfin, leur diamètre tend vers zéro. La conclusion fournit alors à la fois l'existence et l'unicité d'un point commun.

La complétude ne peut pas être omise. Dans l'espace des nombres rationnels, les ensembles de rationnels situés à une distance au plus égale à 1/n de √2 sont fermés, non vides, emboîtés et de diamètre au plus égal à 2/n. Pourtant leur intersection est vide, car √2 n'est pas rationnel. Il faut alors travailler dans un espace complet, ici celui des nombres réels.

Dans la droite réelle, pour chaque entier n au moins égal à 1, on prend l'intervalle fermé $F_n=[1-1\mathrm{/}n,1+1\mathrm{/}n]F\_n=[1-1/n,\backslash ,1+1/n]$. Les données sont donc un espace complet, des intervalles fermés centrés en 1 et un rayon égal à 1/n.

Étape 1. Chaque intervalle contient 1 : il est donc non vide. Ses deux extrémités lui appartiennent, il est donc fermé.

Étape 2. Lorsque n augmente, le rayon 1/n diminue. Ainsi F_n+1 est inclus dans F_n.

Étape 3. La longueur, donc le diamètre, vaut exactement $(1+1\mathrm{/}n)-(1-1\mathrm{/}n)=2\mathrm{/}n(1+1/n)-(1-1/n)=2/n$, et cette quantité tend vers zéro.

Le théorème donne ${\bigcap }_{n\ge 1}{F}_n=\{1\}\backslash bigcap\_\{n\backslash geq\; 1\}F\_n=\backslash \{1\backslash \}$. On le contrôle directement : 1 appartient à chaque intervalle, tandis que tout nombre différent de 1 finit par se trouver à une distance supérieure à 1/n du centre. La figure montre sur une même échelle quatre de ces intervalles et leur resserrement autour de 1.

Pour prouver qu'une construction définit un objet unique, on peut enfermer ses approximations dans des fermés de plus en plus petits. Dès que les trois hypothèses sont vérifiées, le point commun fournit l'objet recherché. Si les diamètres ne tendent pas vers zéro, un argument supplémentaire est nécessaire pour obtenir l'unicité.

Pour étudier une suite de Cauchy, on peut fermer successivement les ensembles formés par ses termes à partir d'un certain rang. Leurs diamètres deviennent petits ; dans un espace complet, leur point commun est la limite. Un critère de convergence direct reste préférable lorsque la limite est déjà calculable.

Dans la preuve du théorème du point fixe de Banach, la contraction produit des approximations qui se resserrent. Le théorème des fermés emboîtés peut organiser l'argument d'existence ; l'estimation de contraction donne en plus une vitesse d'approche exploitable.

Avec le théorème des segments emboîtés. Celui-ci porte sur des segments fermés de la droite réelle. Le théorème des fermés emboîtés étend le même mécanisme aux fermés d'un espace métrique complet. Pour F_n = [1 − 1/n ; 1 + 1/n], les deux théorèmes s'appliquent ; pour des boules fermées dans un autre espace métrique complet, seul l'énoncé général convient.

Avec la compacité. Dans un espace compact, une suite décroissante de fermés non vides possède déjà une intersection non vide, même sans diamètre tendant vers zéro. Le test qui tranche est donc le rôle du diamètre : il est indispensable ici pour garantir que l'intersection est un singleton.

Ensembles non fermés. Les intervalles ouverts ]0 ; 1/n[ sont non vides, emboîtés et de diamètre 1/n, mais leur intersection est vide. Le point attendu, 0, reste exclu. Il faut prendre des fermés ou démontrer autrement que la limite appartient aux ensembles.

Diamètre qui ne tend pas vers zéro. La suite constante F_n = [0 ; 1] satisfait les autres hypothèses, mais son intersection est tout l'intervalle. L'existence peut subsister ; l'unicité n'est plus garantie.

Espace incomplet. Des fermés peuvent se resserrer vers un point absent de l'espace, comme les rationnels autour de √2. Le symptôme est une suite de Cauchy sans limite dans l'espace. Il faut compléter l'espace ou établir séparément l'existence du point commun.

Ensemble vide à un rang. Dès qu'un F_n est vide, tous les suivants peuvent l'être et l'intersection est vide, même si leur diamètre est conventionnellement nul. La non-vacuité doit être contrôlée à chaque rang.

Le théorème des segments emboîtés permet d'étudier la version sur la droite réelle et de comparer précisément ses hypothèses avec l'énoncé métrique général.