AnalyseThéorème · Glossaire
Segments emboîtés (théorème des)
Le théorème des segments emboîtés (ou des intervalles emboîtés) affirme que toute suite décroissante de segments fermés bornés non vides de la droite réelle a une intersection non vide. Plus précisément, si [a_n, b_n] est une suite de segments tels que chaque segment est contenu dans le précédent, alors l'intersection de tous ces segments est non vide. Si de plus la longueur des segments tend vers zéro, alors l'intersection est réduite à un seul point. Ce théorème est équivalent à la complétude de R et est fondamental en analyse.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les hypothèses de fermeture, de bornitude et d'emboîtement.
- Distinguer l'existence d'un point commun de son unicité.
- Vérifier le théorème sur une suite de segments centrés en 1.
- Repérer les échecs dus aux intervalles ouverts ou non bornés.
En clair
Imaginez une rangée de boîtes fermées, chacune placée entièrement dans la précédente. Même si elles deviennent de plus en plus petites, elles gardent au moins un point en commun. Sur une droite graduée, ces boîtes sont des segments emboîtés.
Si leur longueur finit par se rapprocher de zéro, le point commun ne peut plus occuper tout un morceau de droite : il est unique. La fermeture des segments empêche que ce point limite soit exclu.
Définition
Une suite de segments emboîtés est une famille de segments réels fermés et non vides, numérotés par les entiers positifs. Pour chaque entier n, le segment In a pour extrémité gauche an et pour extrémité droite bn. L'emboîtement signifie que le segment suivant est inclus dans le précédent : .
Le théorème affirme que l'intersection de tous les segments In contient au moins un réel. Il suffit que l'un des segments, notamment le premier, soit borné : tous les suivants le sont alors par inclusion. Le mot « décroissante » décrit ici l'inclusion des ensembles, et non une diminution de toutes les extrémités.
Lorsque les longueurs bn − an tendent vers zéro, deux points distincts ne peuvent rester dans chaque segment. L'intersection contient alors exactement un point. Ce résultat exprime la complétude de ℝ : le point ainsi resserré appartient encore à la droite réelle.
Le principe
Pour chaque entier positif n, soit In un segment fermé non vide de ℝ. Si In+1 est inclus dans In pour tout n et si I1 est borné, alors : .
Si, en outre, la longueur de In tend vers zéro quand n grandit, cette intersection est formée d'un unique réel. Sans cette condition supplémentaire, plusieurs points peuvent demeurer communs.
Quand l'utiliser
Le cadre est la droite réelle. Il faut vérifier trois éléments : chaque intervalle est fermé et non vide ; chaque intervalle est inclus dans le précédent ; au moins un intervalle est borné. Ces hypothèses garantissent seulement l'existence d'un point commun. Pour garantir son unicité, il faut aussi que les longueurs tendent vers zéro.
Les intervalles ouverts ]0, 1/n[ fournissent un contre-cas concret. Ils sont non vides, bornés et emboîtés, mais aucun réel ne leur appartient à tous : tout réel inférieur ou égal à zéro est exclu de chaque intervalle, tandis que, pour tout réel positif x, il existe un entier n tel que 1/n ≤ x, donc x est exclu de cet intervalle. Il faut alors rétablir la fermeture, ou employer un autre argument adapté aux ensembles ouverts.
Un exemple, pas à pas
Données. Pour chaque entier n ≥ 1, on prend le segment In = [1 − 1/n, 1 + 1/n]. Pour n = 1, 2 et 4, on obtient respectivement [0, 2], [1/2, 3/2] et [3/4, 5/4].
1. Quand n augmente, 1/n diminue. L'extrémité gauche se rapproche donc de 1 par valeurs croissantes, tandis que l'extrémité droite s'en rapproche par valeurs décroissantes. Ainsi, In+1 est inclus dans In.
2. Chaque In est fermé, non vide et contenu dans I1 = [0, 2]. Le théorème garantit donc qu'un réel appartient à tous ces segments.
3. La longueur vaut (1 + 1/n) − (1 − 1/n) = 2/n, qui tend vers zéro. Les trois segments calculés sont centrés en 1 et rendent visible ce resserrement symétrique.
Résultat et contrôle. L'intersection est donc réduite à un point. Le réel 1 appartient bien à chaque In, puisque 1 − 1/n ≤ 1 ≤ 1 + 1/n. Par existence, unicité et vérification directe, l'intersection est {1}.
En pratique
Dans une preuve d'existence, on peut enfermer progressivement une valeur recherchée dans des segments fermés, bornés et emboîtés. Le théorème fournit alors un point commun sans exiger de le calculer. Si ce point est déjà identifiable directement, une vérification explicite est plus courte.
Pour obtenir une valeur unique, on surveille aussi la longueur des segments. Une longueur qui tend vers zéro transforme l'encadrement en localisation d'un seul réel. Si les longueurs ne se resserrent pas, il faut conclure seulement à une intersection non vide, ou ajouter un autre argument d'unicité.
À ne pas confondre
Suite décroissante de nombres. Pour des segments emboîtés, « décroissante » signifie In+1 ⊆ In. Dans l'exemple [1 − 1/n, 1 + 1/n], les extrémités gauches augmentent : la famille décroît par inclusion, mais toutes les suites numériques associées ne décroissent pas.
Suite de Cauchy. Une suite de Cauchy porte sur la proximité de ses termes entre eux ; le théorème des segments emboîtés porte sur l'inclusion d'ensembles fermés. Une liste de points sans segments ne vérifie donc pas directement les hypothèses d'emboîtement.
Limites et pièges
Oublier la fermeture. Avec ]0, 1/n[, les intervalles semblent se resserrer vers zéro, mais zéro n'appartient à aucun d'eux. Le symptôme est une valeur limite située sur un bord exclu. Il faut contrôler les crochets avant d'appliquer le théorème.
Déduire l'unicité trop tôt. La suite constante In = [0, 1] satisfait les hypothèses d'existence, mais son intersection entière vaut [0, 1]. Sa longueur reste égale à 1. Pour conclure à un point unique, la longueur doit tendre vers zéro ou l'unicité doit être prouvée autrement.
Retirer toute borne. Les intervalles fermés [n, +∞[ sont non vides et emboîtés par inclusion décroissante, mais leur intersection est vide. Aucun premier intervalle borné ne contient toute la construction. Sur ℝ, il faut conserver l'hypothèse de bornitude.
Pour aller plus loin
L'axiome de complétude éclaire la propriété de ℝ qui rend possible l'existence du point commun.
La borne supérieure fournit une autre porte d'entrée vers le réel situé entre les extrémités gauches et droites.
La notion d'intersection précise ce que signifie appartenir simultanément à tous les segments de la famille.
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