G-sigma

Sur une droite graduée, imaginez des intervalles ouverts centrés en 0 qui rétrécissent : (−1, 1), puis (−1/2, 1/2), puis (−1/3, 1/3), et ainsi de suite. Le nombre 0 reste dans chacun d’eux. Tout autre nombre finit par être exclu.

Le point commun à cette infinité dénombrable d’ouverts est donc le seul nombre 0. Un ensemble obtenu par ce type d’intersection s’appelle usuellement un G-delta.

Soit un espace topologique, c’est-à-dire un ensemble muni d’une famille d’ouverts qui contient l’ensemble vide et l’espace entier, et qui est stable par unions quelconques et par intersections finies. Un sous-ensemble A est un G-delta lorsqu’il existe une suite dénombrable d’ouverts, notés U₁, U₂, U₃, etc., dont A est l’intersection. La définition s’écrit : $A={\bigcap }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{U}_{n}A=\backslash bigcap\_\{n=1\}^\{+\backslash infty\}\; U\_n$. La suite peut être finie en pratique, car un ouvert est aussi une intersection dénombrable en répétant le même ensemble.

Le terme standard est G-delta, souvent noté G_δ. La lettre G renvoie à l’allemand Gebiet, pour « ouvert », et δ à Durchschnitt, pour « intersection ». L’appellation « G-sigma » du titre ne doit donc pas être lue comme une autre opération : dans cette fiche, elle désigne la notion G-delta donnée par la source.

Le complémentaire d’un G-delta est un F-sigma, c’est-à-dire une union dénombrable de fermés. Cette dualité découle des lois de De Morgan. Dans un espace métrique complet, tout sous-espace G-delta est complètement métrisable, donc c’est un espace de Baire. S’il est en plus dense, son complémentaire est maigre : le G-delta est alors dense et comaigre dans l’espace ambiant.

Dans la droite réelle, cherchons à écrire le singleton {0} comme une intersection dénombrable d’ouverts.

Données.
La droite réelle est munie de sa topologie usuelle.
L’indice n parcourt les entiers à partir de 1.
Le n-ième intervalle ouvert est centré en 0 et possède un rayon égal à 1/n.

Étape 1. Pour chaque entier n au moins égal à 1, posons l’ouvert U_n suivant :

Étape 2. Le nombre 0 appartient à chaque U_n. Il appartient donc à leur intersection.

Étape 3. Pour un réel x non nul, choisissons un entier n strictement supérieur à 1/|x|. Alors 1/n est strictement inférieur à |x|, donc x n’appartient pas à U_n. Tout réel non nul est ainsi exclu d’au moins un intervalle.

Le singleton {0} est donc un G-delta. Le contrôle consiste à tester séparément 0, qui reste toujours, puis un réel non nul, qu’un intervalle assez petit finit toujours par exclure.

Pour prouver qu’un ensemble est G-delta, on cherche une suite explicite d’ouverts dont l’intersection conserve exactement les points voulus. Dans un espace métrique, entourer un fermé par des voisinages ouverts de rayon 1/n fournit souvent la construction adaptée.

Pour étudier un complémentaire, il est parfois plus direct de passer au F-sigma associé. On remplace alors l’intersection d’ouverts par l’union de leurs complémentaires fermés, ce qui rend certaines inclusions plus faciles à vérifier.

Dans les arguments fondés sur le théorème de Baire, on privilégie la description par ouverts denses lorsque chaque condition à satisfaire définit un ouvert dense. Leur intersection dénombrable reste dense dans un espace de Baire.

G-delta et F-sigma. Un G-delta est une intersection dénombrable d’ouverts ; un F-sigma est une union dénombrable de fermés. Le singleton {0} est G-delta grâce aux intervalles (−1/n, 1/n), tandis que son complémentaire est F-sigma en prenant les complémentaires fermés de ces intervalles.

Ensemble dense et ensemble G-delta. « Dense » signifie que tout ouvert non vide rencontre l’ensemble. « G-delta » décrit une manière de construire l’ensemble. Les rationnels sont denses dans la droite réelle, mais ils n’y sont pas G-delta ; le singleton {0} est G-delta, mais il n’est pas dense.

Une union n’est pas une intersection. Le symbole σ évoque habituellement une union dénombrable, tandis que δ évoque une intersection dénombrable. Si l’expression « G-sigma » apparaît, il faut vérifier la définition donnée au lieu de déduire l’opération du seul nom.

Les ouverts dépendent de la topologie. Une même partie peut être G-delta pour une topologie et ne pas l’être pour une autre. Il faut donc identifier l’espace ambiant et sa topologie avant de chercher une représentation.

La complétude ne rend pas la partie complète avec la métrique restreinte. Un G-delta d’un espace métrique complet est complètement métrisable : une métrique complète compatible existe. La métrique simplement héritée peut rester incomplète, comme sur l’intervalle ouvert (0, 1).

Densité et propriété de Baire sont distinctes. Un G-delta dense est comaigre, mais l’expression « dense de Baire » n’est pas une propriété standard unique. Dans un espace métrique complet, on peut affirmer séparément qu’il est dense, comaigre et complètement métrisable.

L’article espace de Baire précise pourquoi une intersection dénombrable d’ouverts denses reste dense et situe le rôle des ensembles G-delta comaigres.