Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Comaigre
En topologie, une partie est dite comaigre si son complémentaire est maigre, c'est-à-dire si le complémentaire est une réunion dénombrable d'ensembles dont l'adhérence est d'intérieur vide (ensembles nulle part denses). Une partie comaigre est aussi appelée résiduelle. Par le théorème de Baire, dans un espace de Baire (par exemple un espace métrique complet), toute partie comaigre est dense. Cette notion est centrale dans la formulation précise du théorème de Baire et dans l'étude de la généricité topologique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir une partie comaigre à partir de son complémentaire maigre.
- Vérifier sur les irrationnels une décomposition dénombrable en ensembles nulle part denses.
- Distinguer comaigre, dense et ouvert dense.
- Repérer le rôle indispensable de l’hypothèse d’espace de Baire.
En clair
Sur une droite, imaginez que l’on retire une poussière de points, puis une autre, et ainsi de suite en une suite dénombrable. Si chacune de ces poussières est nulle part dense — autrement dit, si l’intérieur de son adhérence est vide —, leur réunion est dite maigre. Tout ce qui reste forme alors une partie comaigre, ou résiduelle.
Dans un espace de Baire, ce reste rencontre chaque zone ouverte : il est dense. Il peut pourtant manquer une infinité de points, comme l’ensemble des irrationnels qui laisse de côté tous les rationnels.
Définition
Soit un espace topologique nommé X et une partie A de X. La partie A est comaigre dans X lorsque son complémentaire X ∖ A est maigre dans X. Autrement dit, X ∖ A est la réunion d’une famille dénombrable d’ensembles nulle part denses. Un ensemble est nulle part dense lorsque l’intérieur de son adhérence est vide. Le synonyme résiduel désigne la même propriété.
De manière équivalente, A contient une intersection dénombrable d’ouverts denses de X. Cette formulation ne signifie pas que A est elle-même ouverte, ni qu’elle est nécessairement cette intersection. Elle précise seulement qu’un tel noyau dense est inclus dans A.
Si X est un espace de Baire, toute partie comaigre de X est dense dans X. Les espaces métriques complets fournissent des exemples d’espaces de Baire. Sans cette hypothèse sur l’espace ambiant, une partie comaigre peut ne pas être dense.
Un exemple, pas à pas
Dans la droite réelle ℝ, considérons la partie A formée des nombres irrationnels.
Données : l’espace ambiant est ℝ ; le complémentaire de A est ℚ ; les rationnels peuvent être énumérés q1, q2, q3, …
Données : l’espace ambiant est ℝ ; le complémentaire de A est ℚ ; les rationnels peuvent être énumérés q1, q2, q3, …
1. Écrivons ℚ comme la réunion des singletons {q1}, {q2}, {q3}, …
2. Chaque singleton est fermé dans ℝ et son intérieur est vide. Son adhérence a donc un intérieur vide : il est nulle part dense.
3. Ainsi, ℚ est une réunion dénombrable d’ensembles nulle part denses : ℚ est maigre. Comme ℝ ∖ A = ℚ, la partie A est comaigre.
Le contrôle est refaisable : tout intervalle ouvert contient un irrationnel, donc A est dense, conformément au théorème de Baire. Une représentation par retraits successifs montre que chaque étape finie conserve presque toute la droite, tandis que l’intersection finale exclut tous les rationnels énumérés.
En pratique
Pour établir qu’une propriété est générique au sens topologique, on étudie l’ensemble des points où elle échoue. Si cet ensemble se décompose en une réunion dénombrable de parties nulle part denses, l’ensemble où la propriété vaut est comaigre.
Dans un espace de Baire, on peut alors conclure que les points satisfaisant la propriété sont denses. Si l’espace n’est pas connu pour être de Baire, cette conclusion doit être remplacée par la seule affirmation établie : le complémentaire est maigre.
Pour reconnaître concrètement un ensemble comaigre, la voie la plus directe consiste souvent à travailler sur son complémentaire. On cherche une énumération de morceaux dont chacun reste nulle part dense, comme les singletons rationnels dans ℝ.
À ne pas confondre
Dense. Un ensemble dense rencontre tout ouvert non vide, tandis qu’un ensemble comaigre a un complémentaire maigre. Dans ℝ, les rationnels ℚ sont denses mais maigres ; ils ne sont donc pas comaigres.
Ouvert dense. Tout ouvert dense a un complémentaire fermé nulle part dense, donc il est comaigre. La réciproque est fausse : l’ensemble des irrationnels est comaigre dans ℝ sans être ouvert.
Limites et pièges
Intérieur vide ne suffit pas. Un ensemble nulle part dense doit avoir une adhérence d’intérieur vide. Les rationnels ℚ ont eux-mêmes un intérieur vide dans ℝ, mais leur adhérence est ℝ : ils ne sont pas nulle part denses. Pour prouver que ℚ est maigre, il faut le décomposer en singletons.
L’espace de Baire est indispensable pour conclure à la densité. L’espace ℚ, muni de la topologie héritée de ℝ, est maigre en lui-même. Son sous-ensemble vide a donc un complémentaire maigre et est comaigre dans ℚ, tout en n’étant pas dense.
L’espace ambiant doit rester explicite. La propriété « comaigre » dépend du complémentaire et des adhérences calculés dans cet espace. Avant toute conclusion, il faut préciser si l’on travaille dans ℝ, dans un sous-espace ou dans un autre espace topologique.
Contenir une intersection n’est pas lui être égal. Une partie comaigre contient une intersection dénombrable d’ouverts denses. Elle n’est pas forcément ouverte ni présentée directement sous cette forme ; il faut conserver le sens exact de l’inclusion.
Pour aller plus loin
Le théorème de Baire explique pourquoi une intersection dénombrable d’ouverts denses reste dense sous les bonnes hypothèses.
La notion d’espace de Baire précise exactement le cadre dans lequel une partie comaigre est nécessairement dense.
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