Logique et ensemblesObjet mathématique · Glossaire
espace de Baire
Un espace topologique est un espace de Baire lorsque toute intersection dénombrable d'ouverts denses y est dense. Autrement dit, une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide ne peut contenir aucun ouvert non vide : l'espace ne se laisse pas épuiser par des ensembles topologiquement petits. Le théorème de Baire garantit notamment cette propriété pour tout espace métrique complet et tout espace localement compact séparé.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la propriété de Baire par la maigreur et par les intersections d'ouverts denses.
- Refaire l'exemple de la droite réelle privée de ses rationnels énumérés.
- Distinguer propriété de Baire, complétude métrique, densité et ouverture.
- Repérer les hypothèses et les limites d'emploi du théorème de Baire.
En clair
Imaginez la droite réelle dont on retire un point, puis un autre, et ainsi de suite. Chaque retrait laisse encore des points dans tout intervalle ouvert. Même après une infinité dénombrable de tels retraits, les points restants demeurent partout autour de chaque position.
Un espace de Baire formalise cette résistance aux exclusions successives. Des ensembles ouverts présents partout ne peuvent pas, par une intersection dénombrable, laisser un trou ouvert.
Définition
Soit un espace topologique, c'est-à-dire un ensemble X muni d'une famille d'ouverts. Un sous-ensemble est dense lorsque tout ouvert non vide de X le rencontre. Il est nulle part dense lorsque l'intérieur de son adhérence est vide, et il est maigre lorsqu'il est réunion dénombrable d'ensembles nulle part denses. L'espace X est un espace de Baire lorsque tout ouvert non vide y est non maigre.
Une formulation équivalente utilise une suite dénombrable d'ouverts denses, notés U1, U2, U3, et ainsi de suite. Elle exige que :
Autrement dit, aucune réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide ne peut contenir un ouvert non vide. Le théorème de Baire fournit deux grandes garanties : tout espace métrique complet est de Baire, et tout espace localement compact séparé l'est aussi. La complétude ou le fait d'être localement compact et séparé sont donc des conditions suffisantes, non la définition elle-même.
De quoi c'est fait
La structure repose sur quatre éléments. L'ensemble X fournit les points. Sa topologie détermine les ouverts et, par eux, la densité. Les ensembles nulle part denses représentent les parties topologiquement petites. Enfin, le caractère dénombrable limite le nombre d'opérations autorisées.
La densité dépend donc des ouverts choisis, tandis que la maigreur dépend à la fois de l'adhérence et de l'intérieur. La propriété de Baire relie ces données : une suite dénombrable d'ouverts denses garde une intersection dense. Une métrique, lorsqu'il y en a une, ne définit pas cette propriété à elle seule ; sa complétude permet toutefois d'appliquer le théorème de Baire.
Un exemple, pas à pas
Prenons la droite réelle ℝ avec sa distance usuelle. Elle est complète. Énumérons les nombres rationnels sous la forme q1, q2, q3, et ainsi de suite. Pour chaque entier positif n, posons Un égal à ℝ privé de qn.
Étape 1. Le singleton formé par qn est fermé et d'intérieur vide. Son complément Un est donc ouvert et dense dans ℝ.
Étape 2. Intersecter tous les Un revient à retirer tous les rationnels. L'intersection obtenue est l'ensemble ℝ ∖ ℚ des nombres irrationnels.
Étape 3. Tout intervalle ouvert non vide contient un nombre irrationnel. L'ensemble ℝ ∖ ℚ rencontre donc chaque intervalle et reste dense dans ℝ.
Le contrôle est refaisable sur n'importe quel intervalle ouvert : même s'il contient des rationnels retirés, il contient encore des irrationnels. Cet exemple vérifie concrètement la conclusion du théorème de Baire.
En pratique
Pour prouver qu'une propriété est vraie sur un ensemble dense, on peut décrire ses échecs par une réunion dénombrable d'ensembles nulle part denses. Dans un espace de Baire, cette réunion ne contient aucun ouvert non vide. Une construction directe reste préférable si la famille d'exceptions n'est pas dénombrable.
Pour montrer que plusieurs contraintes peuvent être satisfaites simultanément, on associe à chacune un ouvert dense. Le théorème convient lorsque ces contraintes forment une suite dénombrable ; une preuve différente est nécessaire pour une famille arbitraire.
En analyse fonctionnelle, la première vérification porte sur le cadre complet où le théorème s'applique. Cette structure intervient notamment dans les démonstrations de Banach-Steinhaus, du théorème du graphe fermé et du théorème de l'application ouverte.
À ne pas confondre
Espace de Baire et espace métrique complet. La complétude d'une métrique entraîne la propriété de Baire, mais elle ne la définit pas. L'intervalle ouvert ]0, 1[ est incomplet pour la distance usuelle ; il est pourtant de Baire parce qu'il est localement compact et séparé.
Ensemble dense et ouvert dense. Un ensemble dense rencontre tout ouvert non vide, sans être nécessairement ouvert. Les rationnels ℚ sont denses dans ℝ mais ne sont pas ouverts. Le critère de Baire porte bien sur des intersections dénombrables d'ensembles à la fois ouverts et denses.
Petitesse topologique et petit nombre de points. « Maigre » décrit une réunion dénombrable d'ensembles nulle part denses, pas un cardinal faible. L'ensemble ℚ est dénombrable et maigre dans ℝ, tandis que son complément est non dénombrable et dense.
Limites et pièges
Oublier le mot « dénombrable ». Le théorème ne protège pas une intersection arbitraire. Dans ℝ, chaque complément ℝ ∖ {x} est ouvert dense, mais l'intersection prise sur tous les réels x est vide. Il faut donc vérifier que les contraintes peuvent être indexées par les entiers.
Remplacer « ouvert dense » par « dense ». Deux ensembles denses peuvent avoir une intersection vide : ℚ et ℝ ∖ ℚ en donnent un cas. Il faut contrôler séparément l'ouverture et la densité de chaque terme de la suite.
Confondre intérieur vide et nulle part dense. L'ensemble ℚ a un intérieur vide, mais son adhérence est ℝ, dont l'intérieur n'est pas vide. Pour tester la maigreur, il faut examiner l'intérieur de l'adhérence, ou employer la formulation équivalente par des fermés d'intérieur vide.
Écarter trop vite un espace incomplet. L'incomplétude de la métrique affichée empêche seulement d'invoquer directement la version métrique du théorème. Il faut alors chercher une autre métrique complète compatible ou vérifier, par exemple, la compacité locale et la séparation.
Pour aller plus loin
théorème de Banach-Steinhaus. Il montre une application majeure du théorème de Baire à une famille d'opérateurs linéaires continus.
Graphe fermé (théorème du). Il prolonge la fiche vers un autre résultat d'analyse fonctionnelle fondé sur la complétude.
Application ouverte (théorème de l'). Il relie la catégorie de Baire au comportement des applications linéaires sur des espaces complets.
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