Baire René

En 1899, René-Louis Baire soutient une thèse sur les fonctions discontinues. Son idée décisive consiste à observer comment une suite de fonctions continues peut tendre, point par point, vers une fonction qui ne l'est plus.

Il organise alors ces fonctions par étages. La classe 0 contient les fonctions continues. La classe 1 rassemble leurs limites simples, puis chaque nouvelle classe se construit à partir de la précédente. Son théorème affirme aussi que certains espaces complets ou localement compacts ne peuvent pas être décomposés en une multitude dénombrable de morceaux fermés tous sans épaisseur.

René-Louis Baire est un mathématicien français dont les travaux portent surtout sur les fonctions de variables réelles. Sa classification part de la convergence simple, c'est-à-dire de la convergence évaluée séparément en chaque point. La classe 0 regroupe les fonctions continues. La classe 1 regroupe les limites simples de suites de fonctions continues. Pour tout entier n au moins égal à 1, la classe n est formée des limites simples de suites de fonctions appartenant à la classe n − 1.

Cette construction hiérarchique rend compte du fait qu'une limite simple de fonctions continues n'est pas nécessairement continue. La classification se lit donc comme une succession d'étages construits par la même opération de passage à la limite.

Le cours donné par Baire au Collège de France en 1904 contient aussi le théorème qui porte son nom. Dans l'énoncé fourni, si l'espace topologique non vide est localement compact et hausdorffien ou s'il est métrique complet, alors toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. Sous les mêmes hypothèses, si une réunion dénombrable de fermés recouvre l'espace, au moins l'un de ces fermés possède un intérieur non vide.

On veut situer une fonction obtenue par limites successives dans la hiérarchie de Baire. Sur l'intervalle [0, 1], on prend les fonctions continues $f_m(x)=x^{m}f\_m(x)=x^m$. Pour chaque x fixé avec 0 ≤ x < 1, $f_m(x)f\_m(x)$ tend vers 0, tandis que $f_m(1)f\_m(1)$ reste égal à 1. Leur limite simple g vaut donc 0 sur [0, 1[ et 1 au point 1. On considère ensuite une suite de fonctions de classe 1 dont la limite simple est h.

1. Chaque fonction f_m appartient à la classe 0, puisqu'elle est continue sur [0, 1].
2. Le calcul ponctuel donne la limite simple g : elle vaut 0 avant 1 et 1 en 1. Elle appartient donc à la classe 1.
3. Chaque fonction de la seconde suite appartient à la classe 1.
4. Leur limite simple h appartient donc à la classe 2.

Le contrôle consiste à relire chaque passage : le rang d'arrivée est celui qui suit le rang des fonctions de la suite. Cet exemple établit une appartenance à une classe ; il n'affirme pas que cette classe est la plus petite possible pour g ou pour h.

Pour étudier une limite simple de fonctions, on commence par identifier la classe des fonctions de la suite. La classification de Baire indique alors un étage auquel appartient la fonction limite.

Pour exploiter le théorème de Baire, on vérifie d'abord le cadre annoncé : espace métrique complet non vide ou espace topologique non vide localement compact et hausdorffien dans l'énoncé retenu. Ici, une partie dense rencontre toute région ouverte non vide de l'espace. Le théorème garantit alors que les points appartenant simultanément à une famille dénombrable d'ouverts denses restent présents dans toute région ouverte non vide : leur intersection reste dense.

Face à un recouvrement dénombrable par des fermés d'un espace non vide vérifiant ces hypothèses, on utilise l'autre formulation : l'un au moins de ces fermés doit avoir un intérieur non vide. Si les hypothèses sur l'espace ne sont pas établies, cette conclusion ne peut pas être invoquée directement.

Classe de Baire et continuité. La classe 0 est définie par la continuité. La classe 1 est définie par l'existence d'une suite de fonctions continues qui converge simplement vers la fonction étudiée ; cette limite n'est pas nécessairement continue.

Théorème de Baire et classification de Baire. La classification range des fonctions selon des limites simples successives. Le théorème porte sur des intersections d'ouverts denses, ou sur des recouvrements par des fermés, dans certains espaces topologiques.

La convergence simple ne préserve pas toujours la continuité. Une suite peut être composée uniquement de fonctions continues tandis que sa limite simple est discontinue. Il faut donc examiner la fonction limite au lieu de lui transférer automatiquement la continuité des termes.

Une appartenance n'est pas un rang minimal. Construire une fonction comme limite simple de fonctions de classe n − 1 prouve son appartenance à la classe n. Cette seule construction ne prouve pas qu'elle n'appartient à aucune classe antérieure.

Les hypothèses du théorème sont indispensables. L'énoncé source vise un espace de Baire non vide, notamment tout espace métrique complet non vide ou tout espace topologique localement compact, hausdorffien et non vide. Sans vérification de ce cadre, la conclusion sur les ouverts denses ou les fermés ne doit pas être appliquée.

L'analyse réelle situe le domaine dans lequel s'inscrivent les travaux de Baire sur les fonctions de variables réelles.

La fonction continue précise la propriété qui définit la classe 0 et qui peut disparaître lors d'un passage à la limite simple.

La série de fonctions continues prolonge l'étude des procédés où plusieurs fonctions continues sont combinées ou soumises à une convergence.