Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Maigre
Un sous-ensemble d'un espace topologique est dit maigre (ou de première catégorie de Baire) s'il est réunion dénombrable de parties nulle part denses. Un ensemble nulle part dense est un ensemble dont l'adhérence a un intérieur vide. Un ensemble non maigre est dit de seconde catégorie. Le théorème de Baire affirme que tout espace métrique complet non vide, ainsi que tout espace localement compact séparé non vide, est de seconde catégorie en lui-même, ce qui signifie qu'il n'est pas maigre en lui-même.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une partie nulle part dense à partir de l'intérieur de son adhérence.
- Vérifier sur ℚ une réunion dénombrable de singletons nulle part denses.
- Distinguer maigre, nulle part dense, dense et comaigre.
- Formuler correctement la conséquence du théorème de Baire et le rôle de l'espace ambiant.
En clair
Imaginez une droite couverte par une liste infinie de poussières de points. Chaque poussière peut s'approcher de certains endroits, mais elle ne remplit aucun intervalle, même après avoir ajouté ses points limites. Un ensemble est maigre lorsqu'on peut le reconstituer avec une liste dénombrable de telles poussières.
Le mot ne décrit donc ni la taille au sens du nombre de points, ni une longueur. Il exprime une petitesse topologique, liée aux ouverts que l'ensemble et son adhérence réussissent ou non à contenir.
Définition
Soit un espace topologique X et une partie M de X. Une partie A de X est nulle part dense dans X lorsque l'intérieur de son adhérence est vide. Autrement dit, même après lui avoir ajouté tous ses points limites, A ne contient aucun ouvert non vide de X. L'adhérence de A est notée avec une barre au-dessus de A, et l'intérieur par Int. Le critère s'écrit : .
La partie M est maigre, ou de première catégorie de Baire, s'il existe une suite dénombrable de parties A1, A2, …, toutes nulle part denses dans X, dont la réunion contient exactement M : . Une partie qui n'est pas maigre est dite de seconde catégorie. Le complémentaire d'un ensemble maigre est appelé comaigre ou résiduel.
L'espace ambiant X fait partie de la définition. Dans un espace de Baire, toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. En particulier, un espace métrique complet non vide n'est pas maigre en lui-même ; la même conclusion vaut pour un espace localement compact séparé non vide. Cette formulation précise le cadre dans lequel s'emploie le théorème de Baire.
Un exemple, pas à pas
Prenons l'ensemble ℚ des nombres rationnels dans la droite réelle ℝ.
Données : ℚ est dénombrable ; ses éléments peuvent donc être rangés dans une suite q1, q2, … ; pour chaque entier n ≥ 1, on pose An = {qn}.
Données : ℚ est dénombrable ; ses éléments peuvent donc être rangés dans une suite q1, q2, … ; pour chaque entier n ≥ 1, on pose An = {qn}.
1. L'adhérence du singleton An dans ℝ est encore An.
2. Aucun singleton ne contient d'intervalle ouvert non vide. L'intérieur de l'adhérence de An est donc vide : chaque An est nulle part dense dans ℝ.
3. La réunion de tous ces singletons redonne exactement ℚ : .
ℚ est donc maigre dans ℝ. Pour contrôler l'argument, choisissez n'importe quel indice n : si An contenait un intervalle ouvert, celui-ci contiendrait plus que l'unique point qn, ce qui est impossible. La figure illustre seulement six premiers singletons de l'énumération ; elle ne représente pas tous les rationnels.
En pratique
Pour montrer qu'une partie est maigre, on cherche une décomposition dénombrable en morceaux dont les adhérences ont toutes un intérieur vide. Si un morceau contient déjà un ouvert non vide, cette décomposition ne convient pas et il faut choisir des morceaux plus fins.
Pour établir qu'un ensemble est grand au sens topologique, on examine plutôt si son complémentaire est maigre. Lorsqu'il l'est, l'ensemble étudié est comaigre ; cette voie est souvent plus directe qu'une description point par point.
Dans un espace métrique complet non vide, le théorème de Baire sert de test d'impossibilité. Si un raisonnement prétend couvrir tout l'espace par une suite de fermés d'intérieur vide, au moins une hypothèse ou une étape de cette couverture doit échouer.
À ne pas confondre
Maigre et nulle part dense. Une partie nulle part dense est maigre, puisqu'une seule partie suffit dans la réunion. La réciproque est fausse : ℚ est maigre dans ℝ, mais son adhérence est ℝ, dont l'intérieur n'est pas vide.
Maigre et non dense. Un ensemble peut être à la fois maigre et dense. C'est le cas de ℚ dans ℝ : tout intervalle réel contient un rationnel, bien que ℚ soit une réunion dénombrable de singletons nulle part denses.
Limites et pièges
L'espace ambiant ne peut pas être omis. Le singleton {0} est nulle part dense, donc maigre, dans ℝ. Considéré comme un espace à lui seul, son adhérence et son intérieur valent {0} : il n'est alors pas maigre en lui-même.
Un intérieur vide ne suffit pas. Le piège consiste à examiner seulement l'intérieur de la partie. Il faut examiner l'intérieur de son adhérence. Ainsi, ℚ a un intérieur vide dans ℝ, mais son adhérence est ℝ : ℚ n'est pas nulle part dense, même s'il reste maigre.
Le théorème de Baire parle de l'espace en lui-même. La complétude d'un espace métrique non vide interdit qu'il soit maigre en lui-même. Elle n'interdit pas qu'une partie complète soit maigre dans un espace ambiant plus grand, comme le singleton {0} dans ℝ.
La réunion doit être dénombrable. Une réunion quelconque de parties nulle part denses ne donne pas nécessairement un ensemble maigre. Dans ℝ, chaque singleton est nulle part dense, mais la réunion de tous les singletons réels est ℝ, qui n'est pas maigre en lui-même.
Pour aller plus loin
Le théorème de Baire explique pourquoi un espace métrique complet non vide ne peut pas être une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide.
La notion d'adhérence - topologie - précise quels points limites doivent être ajoutés avant de tester si l'intérieur est vide.
Un ensemble Comaigre est le complémentaire d'un ensemble maigre et formalise la grandeur topologique correspondante.
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