analyse réelle

Tracez la courbe qui associe à chaque nombre entre 0 et 1 son carré. En zoomant autour d'un point, on observe comment la valeur varie. En découpant l'intervalle en bandes étroites, on approche aussi l'aire sous la courbe.

L'analyse réelle donne un langage précis à ces deux gestes : s'approcher aussi près que souhaité et étudier une variation. Elle relie ainsi les limites, la continuité, les dérivées et les intégrales, tout en indiquant les conditions nécessaires pour que ces passages soient valides.

L'analyse réelle étudie les propriétés des nombres réels, des suites de nombres réels et des fonctions à valeurs réelles. Son idée structurante est le passage à la limite : une quantité variable peut s'approcher d'une valeur sans nécessairement l'atteindre à chaque étape. Ce cadre sert à formuler la continuité, la dérivation, l'intégration et la convergence de suites ou de séries de fonctions.

Pour une suite dont le terme d'indice n est noté u_n, dire que la limite est le nombre réel L impose un contrôle pour toute précision. Si ε désigne une tolérance strictement positive, il doit exister un indice N à partir duquel tous les termes restent à moins de ε de L : . Cette quantification distingue une convergence démontrée d'une simple impression graphique.

Pour une fonction, la continuité exprime la compatibilité entre la limite des entrées et celle des valeurs. La dérivée mesure une variation locale lorsqu'une limite de taux d'accroissement existe. L'intégrale agrège les valeurs sur un ensemble : l'intégrale de Riemann passe par des découpages du domaine, tandis que celle de Lebesgue organise l'agrégation à l'aide d'ensembles mesurables. Enfin, une suite ou une série de fonctions peut converger point par point, uniformément ou selon d'autres modes ; le mode choisi détermine quelles opérations de limite restent permises.

Considérons la fonction f qui associe x² à chaque nombre réel x de l'intervalle [0, 1]. Les données sont quatre sous-intervalles de largeur 1/4 et, pour chaque rectangle, la valeur de f à l'extrémité gauche.

1. Aux extrémités gauches 0, 1/4, 1/2 et 3/4, les hauteurs sont respectivement 0, 1/16, 1/4 et 9/16.

2. La somme des aires des quatre rectangles vaut : $S_4=\frac{1}{4}(0+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+\frac{9}{16})=\frac{7}{32}S\_4=\backslash frac14\backslash left(0+\backslash frac1\{16\}+\backslash frac14+\backslash frac9\{16\}\backslash right)=\backslash frac7\{32\}$. La figure confronte ces rectangles à une représentation échantillonnée de la courbe.

3. En répétant le découpage avec un nombre n de bandes de plus en plus étroites, les sommes gauches approchent l'intégrale de f sur [0, 1]. Cette intégrale vaut exactement : ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\backslash int\_0^1\; x^2\backslash ,dx=\backslash frac13$.

4. Contrôlons l'encadrement. La fonction est croissante sur [0, 1], donc la somme gauche 7/32 est inférieure à l'aire. La somme droite vaut 15/32, d'où 7/32 < 1/3 < 15/32. Le calcul est cohérent et le raffinement du découpage resserre cet encadrement.

Pour déterminer le comportement d'une suite numérique, on cherche une limite et on contrôle l'écart à la valeur candidate. Si les termes oscillent sans se rapprocher d'un même réel, une étude des sous-suites ou des valeurs d'adhérence remplace la recherche d'une limite unique.

Pour décrire une fonction près d'un point, la continuité répond à la stabilité des valeurs, tandis que la dérivée quantifie une variation locale. Lorsque la dérivée n'existe pas, un encadrement, des limites latérales ou une étude directe des variations peuvent rester pertinents.

Pour calculer une aire ou une moyenne, l'intégrale de Riemann convient aux fonctions suffisamment régulières sur un intervalle borné. Lorsque les discontinuités ou les passages à la limite exigent un cadre plus souple, l'intégrale de Lebesgue devient l'outil adapté, sous les hypothèses de mesurabilité et d'intégrabilité requises.

Analyse réelle et analyse complexe. La première travaille avec des variables et des valeurs réelles dans le cadre présenté ici ; la seconde étudie des fonctions d'une variable complexe. La fonction x ↦ |x| sur les réels relève de l'analyse réelle, tandis que l'étude de z ↦ 1/z sur les complexes relève de l'analyse complexe.

Continuité et dérivabilité. Une fonction dérivable en un point est continue en ce point, mais la réciproque est fausse. La fonction qui associe |x| au réel x est continue en 0 ; ses taux d'accroissement à gauche et à droite valent respectivement −1 et 1, donc elle n'y est pas dérivable.

Intégrales de Riemann et de Lebesgue. Elles peuvent donner la même valeur pour une fonction continue sur un intervalle fermé, mais leurs constructions et leurs domaines d'intégrabilité diffèrent. Pour choisir le cadre, il faut tester les hypothèses correspondantes, pas seulement comparer la notation finale.

Une image ne prouve pas une limite. Un graphe affiché à une échelle donnée peut masquer une oscillation ou une rupture. Le symptôme est une conclusion tirée du seul tracé ; il faut revenir à la définition quantifiée, à un encadrement ou à un théorème dont les hypothèses sont vérifiées.

Convergence point par point. Elle ne suffit pas toujours pour échanger limite et intégrale, ni pour transmettre la continuité à la fonction limite. Si le rang nécessaire dépend fortement du point observé, il faut rechercher une convergence uniforme ou employer un théorème de passage à la limite avec ses propres conditions.

Sommes de Riemann. Quatre rectangles donnent ici 7/32, pas l'intégrale exacte 1/3. Une approximation ne devient une intégrale que lorsque la largeur maximale des sous-intervalles tend vers 0 et que les hypothèses d'intégrabilité sont satisfaites ; sinon, il faut conserver le signe ≈ ou un encadrement explicite.

Passage de la limite à la dérivée. Même si une suite de fonctions dérivables converge, la dérivée de la limite n'est pas automatiquement la limite des dérivées. Une preuve doit ajouter des conditions adaptées, par exemple un contrôle uniforme des dérivées et une convergence en un point dans un théorème approprié.

intégrale de Lebesgue — Approfondir l'intégration fondée sur la mesure et les conditions qui autorisent les passages à la limite.

continuité uniforme — Distinguer un contrôle valable simultanément sur tout le domaine d'une continuité examinée point par point.