AnalyseNotion · Glossaire
Convergence simple
Une suite de fonctions (f_n) converge simplement (ou ponctuellement) vers une fonction limite f sur un ensemble E si, pour chaque point x de E, la suite numérique (f_n(x)) converge vers f(x). C'est la notion de convergence la plus faible pour les suites de fonctions. La convergence simple ne préserve pas nécessairement la continuité, l'intégrabilité ni la dérivabilité. Elle se distingue de la convergence uniforme, qui impose que la convergence soit simultanée et contrôlée sur tout l'ensemble.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire l’ordre des quantificateurs et repérer que le rang peut dépendre du point.
- Déterminer la limite simple de fₙ(x) = xⁿ sur [0, 1].
- Distinguer convergence simple, uniforme, numérique et normale.
- Reconnaître pourquoi continuité, intégrabilité et dérivabilité exigent des hypothèses supplémentaires.
En clair
Sur l’intervalle [0, 1], élevons chaque nombre x à des puissances de plus en plus grandes. Le nombre 0,5 donne 0,5, puis 0,25, puis 0,125 : ses valeurs se rapprochent de 0. Le nombre 1, lui, reste toujours égal à 1.
La convergence simple observe ainsi chaque point séparément. Chaque point peut avancer à son propre rythme ; il suffit que sa suite de valeurs atteigne la bonne limite. Une zone lente peut donc se resserrer près de 1 sans empêcher la convergence point par point.
Définition
Soit E un ensemble. Pour chaque entier naturel n, la fonction fn est définie sur E et prend des valeurs réelles ; la fonction f, définie sur le même ensemble, est la limite candidate. La suite (fn) converge simplement, ou ponctuellement, vers f sur E lorsque, pour chaque point x fixé dans E, la suite numérique formée par les valeurs fn(x) converge vers f(x).
Le rang Nx,ε peut dépendre à la fois de la précision ε et du point x. Cette dépendance rend la condition moins forte que la convergence uniforme, qui impose un rang indépendant de x. Même lorsque toutes les fonctions fn sont continues, intégrables ou dérivables, la convergence simple seule ne transmet pas nécessairement ces propriétés à la limite et ne permet pas, à elle seule, d’échanger limite, intégrale ou dérivée.
Un exemple, pas à pas
Sur l’intervalle [0, 1], considérons, pour chaque entier n au moins égal à 1, la fonction fn qui associe xn au nombre x. Les données sont le point x, l’exposant n et la distance usuelle entre nombres réels.
La fonction limite candidate vaut 0 avant l’extrémité et 1 à l’extrémité.
1. Fixons un point x strictement inférieur à 1. La suite xn est géométrique de raison x et tend vers 0. Au point x = 1, toutes les valeurs valent 1.
2. Pour x = 0,5 et une précision ε = 0,01, le rang n = 7 convient : 0,57 = 0,0078125 < 0,01.
3. Pour x = 0,9 avec la même précision, il faut attendre n = 44 : 0,944 ≈ 0,00970. Le rang nécessaire a changé avec le point.
Ainsi, (fn) converge simplement vers f sur [0, 1]. Le contrôle se refait en choisissant n strictement supérieur à ln(ε)/ln(x) lorsque 0 < x < 1 et 0 < ε < 1. Pourtant, près de 1, les courbes restent hautes de plus en plus longtemps : la limite f est discontinue en 1.
En pratique
Pour déterminer une limite simple, on fixe d’abord x et l’on étudie la suite numérique fn(x). Avec xn, le bon geste consiste à séparer x < 1 du point x = 1, car leurs limites diffèrent.
Pour prouver seulement un comportement point par point, on peut accepter un rang qui dépend de x. Si une propriété globale doit passer à la limite, comme la continuité, il faut préférer un contrôle plus fort et vérifier ses hypothèses.
Pour réfuter une convergence uniforme tout en conservant la convergence simple, on cherche des points qui se déplacent avec n. Ici, xn = 1 − 1/n reste dans [0, 1[ et l’erreur xnn tend vers 1/e au lieu de 0.
À ne pas confondre
Convergence uniforme. Elle exige qu’un même rang fonctionne pour tous les points du domaine. Pour fn(x) = xn sur [0, 1], chaque point converge vers f, mais les points 1 − 1/n gardent une erreur proche de 1/e : la convergence est simple, pas uniforme.
Convergence d’une suite numérique. Elle ne concerne qu’une valeur par rang. La convergence simple est une famille de convergences numériques, une pour chaque x ; fixer x = 0,5 ne suffit donc pas à conclure sur tout E.
Convergence normale. Pour une série de fonctions, elle demande la convergence d’une série de majorants uniformes. Elle entraîne la convergence uniforme des sommes partielles, donc leur convergence simple, mais ne désigne pas le test point par point d’une suite quelconque.
Limites et pièges
Un point fixé n’est pas un point mobile. Dans la définition, x est choisi avant de laisser n tendre vers l’infini. Remplacer x par xn change le test. Une erreur persistante le long de xn ne réfute pas la convergence simple ; elle révèle ici l’absence de contrôle uniforme.
La continuité peut disparaître. Chaque fonction x ↦ xn est continue sur [0, 1], mais sa limite simple vaut 0 sur [0, 1[ et 1 en 1. Le saut observable impose de ne pas transmettre la continuité sans hypothèse plus forte.
L’intégrabilité peut disparaître. Sur la droite réelle, la fonction indicatrice de [0, n] est intégrable au sens de Lebesgue pour chaque n, mais sa limite simple est l’indicatrice de [0, +∞[, qui ne l’est pas. Il faut vérifier séparément une domination intégrable ou un autre théorème de passage à la limite.
La dérivation ne passe pas automatiquement à la limite. Les fonctions fn(x) = sin(nx)/n convergent simplement, et même uniformément, vers 0. Au point x = π, leurs dérivées valent cos(nπ) = (−1)n et ne convergent pas. Il faut contrôler aussi la suite des dérivées dans un cadre adapté.
Pour aller plus loin
La fiche convergence uniforme précise le contrôle commun qui manque lorsque le rang dépend du point.
La convergence normale fournit, pour les séries de fonctions, un critère plus fort qui entraîne une convergence uniforme.
La fiche suite géométrique détaille le mécanisme utilisé pour établir que xn tend vers 0 lorsque 0 ≤ x < 1.
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