suite géométrique

Une quantité vaut 3, puis 6, 12 et 24. D’un terme au suivant, elle est toujours multipliée par 2. Cette règle constante, et non l’écart entre deux valeurs, caractérise une suite géométrique.

Le nombre de départ et le multiplicateur suffisent à retrouver toute la suite. Un multiplicateur supérieur à 1 amplifie les valeurs positives ; entre 0 et 1, il les rapproche de zéro ; négatif, il fait alterner leur signe.

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un même nombre, appelé raison. Dans un corps commutatif, le premier terme est noté a et la raison q. En indexant à partir de zéro, la définition s’écrit $u_0=a\text{et}{u}_{n+1}=q{u}_n(n\ge 0)u\_0=a\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\; u\_\{n+1\}=q\; u\_n\backslash quad(n\backslash geq\; 0)$. Ces deux données déterminent tous les termes.

Pour l’indice entier n, le terme général est $u_n=a{q}^{n}u\_n=a\; q^n$. Dans ℝ, le signe de a et la valeur de q gouvernent le sens de variation : pour a positif, q supérieur à 1 donne une suite croissante, tandis que q entre 0 et 1 donne une suite décroissante. Si a est négatif, ces sens sont inversés. Une raison négative produit en général une alternance de signes, donc la suite n’est pas monotone, sauf cas nul.

La suite tend vers 0 lorsque la valeur absolue de q est strictement inférieure à 1. Elle est constante pour q = 1, et elle alterne sans limite pour q = −1 lorsque a n’est pas nul. Si la valeur absolue de q est supérieure à 1 et a n’est pas nul, elle ne converge pas. Dans ℂ, le module de q remplace sa valeur absolue. Enfin, pour q différent de 1, la somme des n premiers termes, de u₀ à u_n−1, vaut $S_n=a\frac{1-q^n}{1-q}S\_n=a\backslash ,\backslash frac\{1-q^n\}\{1-q\}$.

Une suite géométrique repose sur quatre éléments liés. Le premier terme, noté a, fixe le départ. La raison, notée q, fixe le multiplicateur appliqué à chaque étape. L’indice n indique la place du terme, et le terme u_n est la valeur obtenue à cette place.

La raison relie deux termes consécutifs par u_n+1 = q·u_n. Le premier terme et la raison déterminent ensemble u_n = a·qⁿ, donc toute la suite. Le choix de commencer l’indexation à 0 ou à 1 change l’écriture du terme général, mais pas le mécanisme multiplicatif. Un tracé, une couleur ou une échelle graphique peuvent aider à lire la suite ; ils ne la définissent pas.

On considère une suite de premier terme u₀ = 3 et de raison q = 2. On cherche son quatrième terme u₃, puis la somme de ses quatre premiers termes. Les données sont donc a = 3, q = 2 et n = 4 pour la somme.

1. Multiplier 3 par 2 donne u₁ = 6.
2. Multiplier 6 par 2 donne u₂ = 12.
3. Multiplier 12 par 2 donne u₃ = 24.

4. Additionner les quatre termes donne 3 + 6 + 12 + 24 = 45. La formule fournit le même résultat : $S_4=3\frac{1-2^4}{1-2}=45S\_4=3\backslash ,\backslash frac\{1-2^4\}\{1-2\}=45$.

Le résultat est donc u₃ = 24 et S₄ = 45. Pour contrôler le calcul, chaque quotient de deux termes consécutifs non nuls vaut 2, et l’addition directe retrouve 45. La représentation des quatre valeurs rend visible ce doublement régulier.

Lorsqu’une quantité est multipliée à intervalles réguliers par le même facteur, une suite géométrique décrit son évolution. Si elle augmente au contraire d’une même quantité, une suite arithmétique est le modèle adapté.

Pour reconnaître la règle dans une liste de nombres non nuls, on compare les quotients de termes consécutifs. Un quotient constant indique une raison commune ; un écart constant signale plutôt une progression arithmétique.

Pour additionner plusieurs termes consécutifs, on fixe soigneusement le premier indice et le nombre de termes. La formule de somme géométrique évite alors une longue addition, tandis qu’une addition directe reste un bon contrôle sur un petit exemple.

Suite arithmétique. Elle conserve une différence, alors qu’une suite géométrique conserve un quotient entre termes consécutifs non nuls. Ainsi 3, 6, 9, 12 est arithmétique ; 3, 6, 12, 24 est géométrique.

Série géométrique. La suite est la liste des termes u_n. La série étudie leur addition successive. Dans l’exemple, 3, 6, 12, 24 sont des termes de la suite, tandis que 45 est une somme partielle.

Fonction exponentielle. La formule a·qⁿ ne porte ici que sur des indices entiers n. Une fonction exponentielle est définie sur un domaine continu lorsque le cadre choisi le permet ; elle ne désigne donc pas la même structure.

Raison négative. Les signes alternent lorsque a n’est pas nul. Il ne faut donc pas conclure à une croissance ou à une décroissance à partir de la seule valeur absolue des termes ; on étudie séparément les sous-suites d’indices pairs et impairs.

Seuils q = 1 et q = −1. Pour q = 1, tous les termes valent a. Pour q = −1 et a non nul, les valeurs a et −a alternent sans converger. La formule de somme avec le dénominateur 1 − q ne s’emploie pas lorsque q = 1 ; la somme vaut alors n·a.

Premier terme nul. Si a = 0, tous les termes sont nuls, quelle que soit la raison annoncée. Le quotient u_n+1/u_n est alors indéfini : il faut vérifier la relation multiplicative plutôt que chercher la raison par division.

Convergence. Si |q| < 1, la suite tend vers 0. Si |q| > 1 et a n’est pas nul, elle diverge. Dans ℂ, ce critère porte sur le module de q ; lorsque son module vaut 1, le comportement dépend de q et ne se résume pas aux deux cas réels 1 et −1.

La Série géométrique prolonge l’étude vers les sommes partielles et, lorsque le cadre le permet, vers leur limite.

La suite arithmétique éclaire le contraste entre une évolution par multiplication constante et une évolution par addition constante.