suite arithmétique

Écrivez 5, puis ajoutez toujours 3 : vous obtenez 8, 11, 14, 17… Chaque nombre avance du même pas. Cette liste ordonnée est une suite arithmétique, et le pas constant 3 s’appelle sa raison.

Comme l’écart ne change pas, les termes grandissent ici de façon régulière. Connaître le départ et le pas suffit pour poursuivre la suite ou atteindre directement un terme éloigné.

Une suite arithmétique, aussi appelée progression arithmétique, est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs reste constante. Cette constante est la raison, notée r. Si le premier terme, d’indice 0, est noté u₀ et vaut a, la relation de récurrence est $u_{n+1}=u_n+ru\_\{n+1\}=u\_n+r$ pour tout indice entier n supérieur ou égal à 0.

Le terme d’indice n s’obtient sans calculer les précédents : $u_n=a+nru\_n=a+nr$. Pour une suite réelle, une raison positive donne une suite strictement croissante, une raison négative une suite strictement décroissante, et une raison nulle une suite constante. Lorsque la raison réelle est non nulle, la suite diverge vers +∞ si r est positive et vers −∞ si r est négative. L’ordre croissant ou décroissant n’a pas de sens général dans ℂ.

Dans ℝ ou ℂ, la somme des termes allant de l’indice 0 à l’indice n est la moyenne des deux termes extrêmes multipliée par leur nombre :

Quatre éléments décrivent la structure. Le premier terme a fixe le point de départ. La raison r fixe l’écart ajouté à chaque passage au terme suivant. L’indice entier n, à partir de 0, repère la place d’un terme. Enfin, le terme u_n est la valeur attachée à cette place.

Le premier terme et la raison déterminent tous les termes : changer l’un des deux produit une autre suite. L’indice et la raison déterminent l’écart au départ, égal à $nrnr$. Ces données suffisent donc à construire la suite, calculer n’importe quel terme et additionner un nombre fini de termes. Le tracé ou la couleur d’une représentation n’appartiennent pas à sa définition.

On considère une suite dont le premier terme est u₀ = 5 et dont la raison est r = 3. On cherche le terme d’indice 4, puis la somme des termes de l’indice 0 à l’indice 4. Les données sont donc le départ 5, le pas 3 et l’indice final 4.

1. Ajoutez successivement 3 : 5, 8, 11, 14, 17.
2. Calculez directement le dernier terme : $u_4=5+4\times 3=17u\_4=5+4\backslash times3=17$.

3. Additionnez les cinq termes :

4. Contrôlez avec les termes extrêmes :

Le terme d’indice 4 vaut donc 17 et la somme des cinq premiers termes vaut 55. La représentation des cinq couples indice-valeur rend visible leur alignement : à chaque déplacement horizontal d’un indice correspond une hausse verticale de 3.

Pour reconnaître une suite arithmétique, soustrayez chaque terme au suivant. Si toutes les différences obtenues sont identiques, cette valeur commune est la raison. Si ce sont plutôt les quotients qui restent constants, examinez une suite géométrique.

Pour poursuivre seulement de quelques rangs, ajoutez la raison terme après terme. Pour atteindre directement un indice éloigné, partez du premier terme et ajoutez le produit de l’indice par la raison.

Pour additionner un bloc allant du premier terme à un terme connu, multipliez la moyenne des deux extrêmes par le nombre de termes. L’addition directe reste un contrôle simple lorsque le bloc est court.

Dans une suite géométrique, il existe une constante telle que chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par cette constante ; lorsque le terme précédent est non nul, cela revient à dire que leur quotient est constant. Une suite arithmétique se reconnaît quant à elle à une différence additive constante. Ainsi, 2, 4, 8 a des rapports égaux à 2, mais ses différences 2 puis 4 ne sont pas constantes : elle n’est pas arithmétique.

Une raison égale à 0 est le cas charnière : tous les termes sont égaux au premier. La suite est constante, donc ni strictement croissante ni strictement décroissante. Il faut conserver ce cas au lieu de conclure automatiquement à une variation.

Pour une raison réelle non nulle, la suite ne converge pas vers un nombre fini : elle tend vers +∞ lorsque r > 0 et vers −∞ lorsque r < 0. Dans ℂ, parler de croissance ou de décroissance serait impropre, car aucun ordre usuel n’y joue ce rôle ; la formule du terme général et celle de la somme restent toutefois valides.

L’origine des indices change l’écriture. Avec un premier terme noté u₁, le terme d’indice n devient $u_n=u_1+(n-1)ru\_n=u\_1+(n-1)r$. Réutiliser sans adaptation la formule fondée sur u₀ crée un décalage d’une raison.

Le glossaire consacré à l’arithmétique replace les opérations utilisées ici dans leur cadre général.

La fiche sur la suite géométrique prolonge la comparaison entre progression additive et progression multiplicative.