AnalyseObjet mathématique · Glossaire
suite périodique
Une suite u définie pour les entiers positifs est dite périodique de période p si, à partir d'un certain rang n₀, on a uₙ₊ₚ = uₙ pour tout n ≥ n₀. Autrement dit, les valeurs de la suite se répètent à intervalles réguliers de longueur p à partir de ce rang. Si la propriété est vérifiée dès n₀ = 1, premier indice du domaine, la suite est périodique au sens strict. La période minimale est le plus petit entier p > 0 vérifiant cette condition.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rang à partir duquel un motif se répète.
- Vérifier l'égalité entre les termes séparés par une période candidate.
- Démontrer sur un exemple que 2 est une période minimale.
- Distinguer périodicité à partir d'un rang et périodicité au sens strict.
- Éviter de conclure à partir d'un simple extrait fini.
En clair
Regardez la suite de valeurs 1, 4, 2, 5, 2, 5, 2, 5, … Les deux premières valeurs restent isolées, puis le couple 2, 5 revient sans fin. À partir du rang 2, avancer de deux places ramène donc toujours à la même valeur.
Ce retour régulier caractérise une suite périodique. La longueur du motif répété est une période ; ici, 2 est la plus petite longueur possible.
Définition
Une suite u associe une valeur un à chaque entier n de son domaine. Elle est périodique à partir d'un rang lorsque deux entiers existent : un entier de départ n0 et un entier strictement positif p, appelé période, tels que, pour tout entier n ≥ n0, les indices n et n + p appartiennent au domaine et : . L'égalité doit être vraie pour tous les indices à partir de n0, pas seulement pour quelques termes observés.
Dans la suite 1, 4, 2, 5, 2, 5, …, on peut prendre n0 = 2 et p = 2. Une fois ce rang atteint, les indices pairs portent la valeur 2 et les indices impairs la valeur 5. La répétition n'est pas valable depuis le rang 0, car u2 = 2 tandis que u0 = 1.
Si l'égalité vaut dès le premier indice du domaine, la suite est périodique au sens strict ; si elle ne vaut qu'à partir d'un rang n0 ultérieur, elle est périodique à partir de ce rang. Plusieurs périodes peuvent convenir : dans l'exemple, 4 convient aussi, car deux répétitions du motif ramènent à la même valeur. La période minimale est le plus petit entier positif qui convient ; elle vaut ici 2.
De quoi c'est fait
Quatre données structurent la périodicité. La suite fournit les valeurs ordonnées un. Le rang de départ n0 sépare un éventuel préambule du régime répétitif. La période p fixe le décalage entre deux valeurs qui doivent coïncider. Enfin, le motif est formé des p valeurs consécutives qui se répètent à partir de ce rang.
Le choix de n0 détermine où commence le motif, tandis que p détermine sa longueur. Ensemble, ils permettent de reconstruire toute la suite après n0 à partir de p valeurs. Le tracé, les couleurs ou l'échelle d'une représentation ne définissent pas la périodicité : seules comptent les égalités entre termes séparés de p indices.
Un exemple, pas à pas
Étudions la suite 1, 4, 2, 5, 2, 5, 2, 5, … Les données sont les valeurs u0 = 1 et u1 = 4, puis l'alternance 2, 5 à partir de l'indice 2. Nous testons le rang n0 = 2 et la période candidate p = 2.
1. Comparons des termes espacés de deux rangs : u2 = u4 = u6 = 2, et u3 = u5 = u7 = 5. La figure matérialise ces deux chaînes d'égalités.
2. Après le rang 2, tout indice est pair ou impair. Ajouter 2 ne change pas cette parité ; la valeur reste donc respectivement 2 ou 5. Ainsi, un+2 = un pour tout n ≥ 2.
3. Testons une période plus petite. La seule candidate positive inférieure à 2 est 1, mais u2 = 2 et u3 = 5. Une période égale à 1 imposerait leur égalité ; elle échoue.
La suite est donc périodique à partir du rang 2, de période minimale 2. Contrôle supplémentaire : elle n'est pas périodique au sens strict depuis 0, puisque u0 = 1 diffère de u2 = 2.
En pratique
Pour vérifier une période candidate p, comparez chaque terme à celui situé p rangs plus loin, à partir du rang annoncé. Dès qu'une paire diffère, cette période échoue ; il faut essayer un autre décalage ou conclure que les données ne suffisent pas.
Pour calculer un terme d'indice éloigné après le début du motif, retirez autant de périodes complètes que nécessaire. Dans l'exemple, 100 et 2 diffèrent de 49 périodes de longueur 2, donc u100 = u2 = 2. Un calcul direct terme par terme serait inutile.
Pour chercher la période minimale, testez les décalages positifs plus petits que la période déjà trouvée. Si l'un fonctionne pour tous les rangs concernés, gardez-le ; sinon, la période initiale est minimale. Une ressemblance sur un extrait fini ne remplace jamais cette vérification générale.
À ne pas confondre
Suite périodique et suite arithmétique. Une suite arithmétique conserve une différence entre deux termes consécutifs ; une suite périodique retrouve la même valeur après un décalage fixe. La suite un = n est arithmétique, mais aucun décalage positif ne ramène à la même valeur.
Suite périodique et suite bornée. Une suite périodique numérique ne prend, après son rang de départ, qu'un nombre fini de valeurs répétées ; elle est donc bornée. La réciproque est fausse : la suite un = 1/(n + 1) reste entre 0 et 1, mais ses valeurs distinctes ne se répètent pas.
Limites et pièges
Répétition seulement à partir d'un rang. Dans l'exemple, le motif commence à n0 = 2. Le symptôme d'une fausse périodicité stricte est l'échec de u0 = u2 ; il faut annoncer le rang de départ au lieu d'ignorer les premiers termes.
Période non minimale. Un décalage de 4 convient à l'alternance 2, 5, mais il ne décrit pas le motif le plus court. Le symptôme est l'existence d'un décalage positif plus petit qui fonctionne encore ; testez ici p = 1, puis retenez p = 2.
Extrait fini trompeur. Voir 2, 5, 2, 5 sur quelques rangs ne prouve pas que la répétition continue indéfiniment. Si la règle de la suite n'établit pas l'égalité pour tout n ≥ n0, présentez seulement un motif observé, pas une période démontrée.
Convention d'indexation. Lorsque les indices commencent à 1 plutôt qu'à 0, l'expression « au sens strict » signifie que la répétition vaut dès ce premier indice. Il faut adapter le rang initial au domaine réel de la suite au lieu d'introduire u0 s'il n'est pas défini.
Pour aller plus loin
suite bornée — Situer la bornitude parmi les conséquences d'un motif périodique et comprendre pourquoi la réciproque ne suffit pas.
suite arithmétique — Comparer une répétition de valeurs à une progression gouvernée par une différence constante.
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