suite bornée

Imaginez des points placés successivement sur une droite graduée. Ils peuvent sauter d'un côté à l'autre, mais aucun ne franchit deux barrières fixes. La suite de leurs positions est alors bornée.

Ces barrières n'obligent pas les points à se rapprocher d'une même valeur. La suite 1, −1, 1, −1, … reste enfermée entre −1 et 1 tout en oscillant sans se stabiliser. Être bornée signifie donc rester dans une zone finie, pas nécessairement converger.

Une suite réelle associe à chaque entier naturel n un nombre réel noté u_n. Elle est bornée lorsqu'un même intervalle fini contient tous ses termes. Plus précisément, il existe un réel m, appelé minorant, et un réel M, appelé majorant, tels que :

La suite est alors minorée par m et majorée par M. Ces bornes n'ont pas besoin d'être des valeurs prises par la suite, ni d'être uniques. Une suite bornée ne peut diverger ni vers +∞ ni vers −∞. Cette information ne suffit toutefois pas à assurer sa convergence : u_n = (−1)ⁿ reste entre −1 et 1, mais alterne entre ces deux valeurs et n'a pas de limite.

Une suite est donnée par ses indices n, qui parcourent les entiers naturels et fixent l'ordre, et par ses termes u_n, les nombres réels associés à ces indices. Elle est bornée lorsqu'il existe un minorant m inférieur ou égal à chaque terme et un majorant M supérieur ou égal à chaque terme. Ces deux bornes ne sont généralement pas uniques.

Les deux bornes doivent fonctionner simultanément pour tous les indices : une barrière qui dépend de n ne suffit pas. Elles déterminent un intervalle [m, M] qui contient l'ensemble des valeurs de la suite. Changer m ou M pour des bornes plus larges conserve la propriété. En revanche, l'ordre des termes, leur tracé et leur éventuelle oscillation ne définissent pas à eux seuls le caractère borné. Ces données suffisent à vérifier que toute valeur u_n reste dans un intervalle fixe.

Considérons la suite dont le terme d'indice n est u_n = (−1)ⁿ, avec n entier naturel à partir de 0. Les données sont la base −1, l'exposant n et les deux bornes candidates m = −1 et M = 1.

1. Pour un indice pair, l'exposant est pair et u_n = 1. Pour un indice impair, l'exposant est impair et u_n = −1.

2. Chaque terme vaut donc exactement −1 ou 1. L'inégalité −1 ≤ u_n ≤ 1 est vraie pour tout n : la suite est bornée.

3. Les termes pairs forment la sous-suite constante 1, qui converge vers 1. Les termes impairs forment la sous-suite constante −1, qui converge vers −1.

4. Puisque ces deux sous-suites ont des limites différentes, la suite complète ne converge pas. Le contrôle est immédiat : calculer les neuf termes d'indices 0 à 8 donne 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, tous compris entre les bornes annoncées. La figure rend cette alternance visible sans lui prêter une limite unique.

Pour prouver qu'une suite est bornée, on cherche deux nombres fixes qui encadrent tous ses termes. Lorsque les termes sont positifs, montrer qu'ils restent sous un majorant suffit aussi à obtenir une minoration, par 0.

Si une formule explicite est disponible, on estime directement u_n. Si la suite est définie par récurrence, une preuve par récurrence peut montrer qu'un même intervalle contient chaque nouveau terme. Le critère à surveiller est que les bornes ne changent pas avec n.

Quand la suite oscille, chercher d'abord une limite unique peut échouer. L'encadrement reste alors utile : il écarte une fuite vers l'infini et permet d'appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass pour obtenir au moins une sous-suite convergente.

Suite bornée et suite convergente. Une suite convergente se rapproche d'une limite unique ; une suite bornée reste seulement dans un intervalle fixe. La suite u_n = (−1)ⁿ est bornée, mais ses alternances empêchent toute limite unique.

Suite bornée et suite majorée. Une suite majorée ne franchit qu'une barrière supérieure ; elle peut encore descendre vers −∞. Être bornée exige aussi un minorant commun à tous les termes.

Suite bornée et suite minorée. Une suite minorée ne franchit qu'une barrière inférieure ; elle peut encore monter vers +∞. Pour conclure qu'elle est bornée, il faut également exhiber un majorant.

Des bornes variables ne prouvent rien. L'écriture −n ≤ u_n ≤ n encadre peut-être chaque terme, mais l'intervalle s'élargit avec l'indice. Il faut trouver deux réels fixes m et M valables pour tout n.

Les bornes peuvent être atteintes. Dans u_n = (−1)ⁿ, les valeurs charnières −1 et 1 sont prises une infinité de fois. Les inégalités de la définition sont larges : remplacer systématiquement « ≤ » par « < » serait incorrect.

Une sous-suite convergente n'entraîne pas la convergence de toute la suite. Bolzano-Weierstrass garantit l'existence d'au moins une extraction convergente, pas une limite commune à tous les termes. Ici, les indices pairs donnent la limite 1 et les indices impairs la limite −1. Il faut étudier la suite entière avant de conclure.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass précise pourquoi toute suite réelle bornée possède une sous-suite convergente.

La convergence d'une suite numérique donne le critère plus exigeant qui impose une limite unique à la suite entière.

La divergence d'une suite numérique aide à distinguer une oscillation bornée d'une fuite vers +∞ ou −∞.