AnalyseObjet mathématique · Glossaire
variation d'une suite
Étudier les variations d'une suite réelle, c'est déterminer, sur tous les indices considérés, si chaque terme est supérieur ou égal au précédent (suite croissante) ou inférieur ou égal (suite décroissante) ; elle est monotone dans l'un de ces deux cas. Comparer uₙ₊₁ à uₙ, souvent par le signe de leur différence, permet donc d'établir son sens de variation. Pour en déduire une convergence vers une limite réelle, une suite croissante doit en plus être majorée, et une suite décroissante minorée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer croissance large, croissance stricte, décroissance et monotonie.
- Prouver une variation par le signe de la différence entre deux termes consécutifs.
- Reproduire l'étude d'une suite croissante, majorée et convergente vers 5.
- Repérer les erreurs liées aux premiers termes, aux égalités et aux bornes.
En clair
Imaginez une suite de nombres lus dans l'ordre : 2 ; 3,5 ; 4 ; 4,25… Chaque terme est plus grand que le précédent, mais les bonds deviennent plus petits. Étudier les variations, c'est suivre ce mouvement d'un rang au suivant : la suite monte, descend, ou conserve parfois la même valeur. Une seule remontée suffit à empêcher une suite d'être décroissante sur toute la plage étudiée.
Définition
Une suite réelle associe à chaque indice entier naturel n un nombre réel un. Elle est croissante, au sens large, lorsque chaque terme est au moins égal au précédent : . Elle est décroissante lorsque toutes ces inégalités sont inversées. Dans les deux cas, elle est dite monotone.
Si l'inégalité est stricte à chaque indice, la suite est strictement croissante ou strictement décroissante. Une suite constante est à la fois croissante et décroissante au sens large, mais elle n'est monotone dans aucun sens strict. Ces propriétés portent sur tous les indices du domaine considéré, pas seulement sur les premiers termes observés.
Pour relier variation et limite, une borne est décisive. Toute suite croissante et majorée converge vers une limite réelle ; toute suite décroissante et minorée aussi. Une suite croissante sans majorant tend vers +∞, tandis qu'une suite décroissante sans minorant tend vers −∞.
De quoi c'est fait
L'étude réunit cinq éléments. L'ensemble des indices fixe les rangs concernés. Les termes un sont les valeurs à comparer. Le couple de termes consécutifs un et un+1 fournit une comparaison locale. Le signe de leur différence détermine le sens de variation. Enfin, un majorant ou un minorant peut relier cette variation à la convergence.
La conclusion globale dépend de toutes les comparaisons locales : un signe valable pour quelques rangs ne suffit pas. La borne n'intervient pas pour définir la monotonie, mais elle devient essentielle pour conclure à une limite finie. Une représentation en points peut rendre le mouvement visible ; elle ne remplace pas la preuve portant sur tout indice.
Un exemple, pas à pas
On considère, pour tout entier naturel n à partir de 0, la suite définie par . Les données sont donc l'indice n, la constante 5 et le quotient positif 3/(n + 1).
1. Les premiers termes sont u0 = 2, u1 = 3,5, u2 = 4 et u3 = 4,25. Ils suggèrent une hausse, sans encore la prouver.
2. On soustrait deux termes consécutifs : . Pour n ≥ 0, le numérateur et les deux facteurs du dénominateur sont positifs. La différence est donc strictement positive.
3. La suite est strictement croissante. De plus, 3/(n + 1) est positif, donc un est strictement inférieur à 5 : la suite est majorée par 5.
4. Le théorème des suites monotones assure alors une limite finie. Comme 3/(n + 1) tend vers 0, cette limite vaut 5. Le contrôle est cohérent : les termes calculés montent tout en restant sous 5.
En pratique
Avec une formule explicite, on calcule en priorité un+1 − un. Un signe toujours positif donne une croissance ; un signe toujours négatif donne une décroissance. Lorsque la différence se factorise mal, on peut comparer directement les deux termes ou étudier une fonction associée, si cette fonction est définie sur un intervalle contenant les indices.
Avec une relation de récurrence, la relation entre un+1 et un guide le choix. Une récurrence peut être nécessaire lorsque le signe dépend d'une propriété déjà établie au rang n.
Pour chercher une limite, la variation ne suffit pas seule. Après avoir prouvé la monotonie, on cherche une borne du bon côté : un majorant pour une suite croissante, un minorant pour une suite décroissante. Sans cette borne, la conclusion attendue est une divergence vers l'infini correspondant.
À ne pas confondre
Variation et signe des termes. Une suite peut être croissante tout en restant négative, comme la suite de terme −1/(n + 1). Le signe de un indique sa position par rapport à 0 ; le signe de un+1 − un indique son mouvement.
Monotonie et convergence. La suite de terme un = n est strictement croissante, mais elle ne converge pas vers un réel : elle tend vers +∞. Inversement, la suite de terme (−1)n/(n + 1) converge vers 0 sans être monotone.
Croissance large et croissance stricte. La suite 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3… est croissante au sens large parce qu'elle ne baisse jamais. Elle n'est pas strictement croissante, car deux termes consécutifs peuvent être égaux.
Limites et pièges
Quelques termes ne font pas une preuve. Une suite peut commencer par 1 ; 2 ; 3 puis redescendre. Le symptôme est un argument fondé sur une liste finie de valeurs. Il faut établir l'inégalité voulue pour chaque indice du domaine, ou préciser « à partir d'un certain rang ».
Le signe peut changer. Si un+1 − un est positif pour certains indices et négatif pour d'autres, la suite n'est pas monotone sur l'ensemble considéré. Il faut découper l'étude en plages ou rechercher une monotonie seulement à partir d'un rang.
L'égalité est un cas charnière. Si la différence vaut 0 à un rang, la croissance au sens large reste possible, mais la croissance stricte est exclue. Pour une suite constante, la différence vaut 0 à chaque rang.
Une borne doit être du bon côté. Un minorant n'empêche pas une suite croissante de tendre vers +∞. Pour obtenir une limite réelle, une suite croissante doit être majorée ; symétriquement, une suite décroissante doit être minorée.
Pour aller plus loin
La fiche Majorant précise la borne supérieure nécessaire au théorème de convergence d'une suite croissante.
La Borne supérieure affine cette idée en distinguant un majorant quelconque du plus petit des majorants.
Les fiches suite arithmétique et suite géométrique montrent comment leur raison permet de déterminer les variations, avec des conditions propres à chaque famille.
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