Décroissante

Suivons une courbe de gauche à droite. Aux abscisses −1, 0, 2 et 4, la fonction f prend successivement les valeurs 9, 7, 3 et −1. Chaque fois que l’abscisse augmente, la valeur descend. Une fonction décroissante peut aussi avancer un moment à hauteur constante, mais elle ne remonte jamais.

Pour une suite, la même idée s’applique à une liste ordonnée de nombres : chaque nouveau terme est inférieur ou égal au précédent.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Elle est décroissante sur I lorsque, pour tous nombres a et b de I, l’ordre a < b entraîne f(a) ≥ f(b). Elle est strictement décroissante si l’inégalité obtenue est toujours stricte. Une fonction constante est donc décroissante, mais pas strictement décroissante.

Si f est dérivable sur I, la condition f′(x) ≤ 0 pour tout nombre x de I caractérise sa décroissance. La condition f′(x) < 0 partout suffit à établir la décroissance stricte, mais elle n’est pas nécessaire. Dans le cas strict, deux entrées distinctes ont deux images distinctes : f est injective. Toute fonction monotone sur un intervalle admet aussi des limites à gauche et à droite aux points où ces côtés existent.

Pour une suite réelle de termes u_n, décroître signifie que u_n+1 ≤ u_n pour tout indice n. Cela équivaut à u_m ≤ u_n dès que n < m. Si cette suite est en plus minorée, c’est-à-dire si un même nombre reste inférieur ou égal à tous ses termes, alors elle converge.

Considérons la fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels par $f(x)=7-2xf(x)=7-2x$. Les données choisies sont quatre abscisses ordonnées, −1, 0, 2 et 4, ainsi que le coefficient directeur −2.

1. Calculons les images : f(−1) = 9, f(0) = 7, f(2) = 3 et f(4) = −1.

2. Comparons les deux premières entrées : −1 < 0, tandis que 9 > 7. L’ordre des images est bien inversé. Le même constat vaut pour les quatre valeurs : 9 > 7 > 3 > −1.

3. La dérivée de f vaut −2 pour toute abscisse réelle. Comme elle est strictement négative, f est strictement décroissante sur ℝ.

Le contrôle peut être refait sans dérivée. Pour deux réels a et b tels que a < b, multiplier par −2 inverse l’inégalité, puis ajouter 7 donne f(a) > f(b). Le graphe matérialise ce renversement d’ordre.

Pour établir un tableau de variations, on étudie le signe de la dérivée. Sur tout intervalle où f′ reste négative ou nulle, on inscrit une flèche descendante. Si la fonction n’est pas dérivable, on revient à la comparaison directe de f(a) et f(b).

Pour prouver la convergence d’une suite décroissante, il faut chercher un minorant. La décroissance seule ne suffit pas : sans borne inférieure, la suite peut continuer vers −∞. Si aucune monotonie n’est disponible, un autre théorème de convergence doit être utilisé.

Pour résoudre une équation f(x) = c, la décroissance stricte garantit qu’il existe au plus une solution. Elle ne garantit pas qu’une solution existe : il faut encore vérifier que la valeur c est atteinte, par exemple grâce à la continuité et à un encadrement.

Une fonction croissante conserve l’ordre : si a < b, alors f(a) ≤ f(b). La fonction f(x) = 7 − 2x tranche nettement : entre 0 et 2, son image passe de 7 à 3, donc elle est décroissante et non croissante.

Une fonction négative a des valeurs inférieures ou égales à zéro ; cela ne dit rien, à lui seul, sur leur ordre. La fonction constante égale à −1 est négative et décroissante, tandis que la fonction x ↦ x sur les réels négatifs est négative mais croissante.

Une portion horizontale n’annule pas la décroissance au sens large. Elle empêche seulement la décroissance stricte. Il faut donc regarder si le symbole attendu est ≥ ou >, et ne pas conclure « strictement » lorsque deux entrées distinctes ont la même image.

Une dérivée nulle en un point n’empêche pas toujours la décroissance stricte. La fonction x ↦ −x³ est strictement décroissante sur ℝ, alors que sa dérivée vaut 0 en 0. Pour une preuve générale, le signe strict partout est un critère suffisant, pas une condition nécessaire.

Le domaine compte. Une conclusion obtenue sur un intervalle ne s’étend pas automatiquement à toutes les composantes d’un domaine disjoint : il faut encore comparer les valeurs prises de part et d’autre des coupures.

Les limites unilatérales d’une fonction monotone se lisent du côté qui appartient à l’intervalle. En un point intérieur, les limites à gauche et à droite existent et sont finies, mais elles peuvent différer si la fonction a un saut. À une extrémité non bornée, une limite peut être infinie.

La monotonie permet de transformer une information d’ordre en résultats d’analyse : existence de limites, convergence des suites monotones et bornées et unicité éventuelle d’une solution. La notion symétrique est présentée dans Croissante, avec l’ordre des images conservé plutôt qu’inversé.