Croissante

Imaginez une machine qui transforme chaque nombre reçu. Si l’on augmente le nombre d’entrée, la sortie ne doit jamais baisser : la fonction est alors croissante. Une portion horizontale reste permise, car la sortie peut demeurer égale.

Avec une fonction strictement croissante, la règle est plus exigeante : toute hausse de l’entrée entraîne une hausse de la sortie. Par exemple, pour le carré d’un nombre entre 0 et 3, les entrées 0, 1, 2 et 3 donnent successivement 0, 1, 4 et 9.

Soit une fonction nommée f, définie sur un intervalle I. Elle est croissante, ou non décroissante, lorsque l’ordre des entrées est conservé par leurs images. Autrement dit, pour deux nombres x et y appartenant à I, la condition s’écrit $x\le y\Rightarrow f(x)\le f(y)x\backslash le\; y\; \backslash Rightarrow\; f(x)\backslash le\; f(y)$. Une égalité entre deux sorties est donc possible.

La fonction est strictement croissante lorsque . Cette fois, deux entrées distinctes ont des images distinctes. Si f est dérivable sur l’intervalle I, elle est croissante sur I si et seulement si sa dérivée, notée f′, vérifie $f^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0f\text{'}(x)\backslash ge\; 0$ en tout point intérieur de I. La condition $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0f\text{'}(x)>0$ sur l’intérieur de I suffit à assurer la croissance stricte, mais elle n’est pas nécessaire en chaque point : la fonction cube est strictement croissante alors que sa dérivée s’annule en 0.

On étudie la fonction f qui associe à chaque nombre x son carré, sur l’intervalle [0 ; 3]. Les données sont donc $f(x)=x^{2}f(x)=x^2$, $0\le x\le 30\backslash le\; x\backslash le\; 3$ et les entrées de contrôle 0, 1, 2 et 3.

1. On calcule les images : $f(0)=0,f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9f(0)=0,\backslash quad\; f(1)=1,\backslash quad\; f(2)=4,\backslash quad\; f(3)=9$. Ces quatre valeurs augmentent avec les entrées.

2. Quelques valeurs ne suffisent pas à conclure pour tout l’intervalle. La dérivée de f est $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2xf\text{'}(x)=2x$.

3. Sur [0 ; 3], tout nombre x est positif ou nul. Par conséquent, $2x\ge 02x\backslash ge\; 0$ sur tout l’intervalle : la fonction est croissante.

Elle est même strictement croissante sur [0 ; 3]. Pour contrôler ce résultat sans dérivée, si , alors $y^2-x^2=(y-x)(y+x)>0y^2-x^2=(y-x)(y+x)>0$. On obtient bien .

La courbe de cet exemple rend visible la montée des images 1, 4 et 9 lorsque les entrées passent de 1 à 3.

Dans une étude de fonction, le signe de la dérivée indique le sens de variation. Lorsque f′ reste positive ou nulle sur un intervalle, on y note une croissance ; si elle reste négative ou nulle, on retient plutôt une décroissance.

Pour comparer deux images sans les calculer exactement, on repère d’abord l’ordre des entrées. Si f est croissante et si x est inférieur à y, alors f(x) ne peut pas dépasser f(y).

Pour savoir si deux entrées peuvent avoir la même image, la nuance décisive est le mot « strictement ». Une fonction seulement croissante peut comporter un palier ; une fonction strictement croissante ne le peut pas.

Fonction croissante et fonction positive. « Croissante » compare les sorties obtenues pour deux entrées ordonnées ; « positive » impose des sorties supérieures ou égales à 0. La fonction $f(x)=xf(x)=x$ est croissante sur ℝ, mais elle est négative lorsque x est négatif.

Fonction croissante et fonction décroissante. La première conserve l’ordre des images, tandis que la seconde le renverse. Pour , une fonction croissante donne $f(x)\le f(y)f(x)\backslash le\; f(y)$ ; une fonction décroissante donne $f(x)\ge f(y)f(x)\backslash ge\; f(y)$. Sur ℝ, $f(x)=xf(x)=x$ est croissante, tandis que $g(x)=-xg(x)=-x$ est décroissante.

L’intervalle fait partie de l’énoncé. La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; 3], mais pas sur ℝ : quand l’entrée passe de −2 à −1, son carré passe de 4 à 1. Il faut donc préciser le domaine étudié avant de conclure.

Un palier n’interdit pas la croissance. Une fonction constante sur une portion reste croissante au sens non strict, puisque ses sorties ne diminuent pas. En revanche, ce palier empêche toute croissance stricte sur un intervalle qui le contient.

Le critère de la dérivée exige la dérivabilité. Sans dérivée sur tout l’intérieur de l’intervalle, son signe ne fournit pas ce test global. Il faut alors revenir directement à la comparaison des images pour toutes les paires d’entrées ordonnées.

Des zéros de la dérivée n’excluent pas la croissance stricte. Pour la fonction cube, la dérivée vaut 0 en x = 0, mais les images augmentent strictement sur ℝ. Plus généralement, la dérivée d’une fonction strictement croissante peut même s’annuler sur un ensemble de points non isolés. Le signe strictement positif de la dérivée est donc un critère suffisant, pas une condition nécessaire en chaque point.

bijection — Pour relier la croissance stricte à l’unicité des images et approfondir la correspondance entre entrées et sorties.

Décroissante — Pour étudier le sens de variation opposé et comparer directement les deux inégalités d’ordre.