tableau de variations

Imaginez que l'on suive l'altitude d'un chemin sans en dessiner chaque mètre. Une flèche montante signale une montée, une flèche descendante une descente, et les valeurs inscrites aux changements de sens marquent les points remarquables. Un tableau de variations fait la même chose pour une fonction : il condense son évolution par intervalles. On voit ainsi où ses valeurs augmentent, diminuent ou restent constantes.

Un tableau de variations est une représentation ordonnée du comportement d'une fonction numérique sur tout ou partie de son domaine de définition. Une première ligne porte les valeurs de la variable, notamment les bornes des intervalles et les points où le comportement change. Une autre ligne porte les valeurs correspondantes de la fonction et des flèches indiquent son sens de variation.

Sur un intervalle, une fonction est croissante lorsque l'ordre des entrées est conservé : pour deux nombres $x_1\le x_{2}x\_1\backslash le\; x\_2$, on a $f(x_1)\le f(x_2)f(x\_1)\backslash le\; f(x\_2)$. Elle est décroissante lorsque cet ordre est inversé, et constante lorsque toutes les entrées de l'intervalle ont la même image. Les variantes « strictement croissante » et « strictement décroissante » remplacent les inégalités larges par des inégalités strictes lorsque les entrées sont distinctes.

Les valeurs atteintes aux bornes ou aux changements de sens peuvent révéler un minimum ou un maximum, local ou global selon l'intervalle étudié. Le tableau donne une synthèse qualitative : il ne fournit pas toutes les valeurs de la fonction et ne détermine pas à lui seul la forme exacte de sa courbe.

Dans un cours, un exercice ou l'étude d'une courbe, le tableau se reconnaît à quelques marqueurs. Une ligne contient la variable, souvent notée x, avec des bornes et des valeurs charnières rangées de gauche à droite. Une ligne consacrée à la fonction contient des valeurs remarquables reliées par des flèches montantes, descendantes ou horizontales. Des doubles barres peuvent signaler une valeur exclue du domaine. L'ensemble indique comment les images de la fonction évoluent lorsque la variable parcourt chaque intervalle dans le sens croissant.

La grandeur lue est la valeur de la fonction, mise en regard de la variable. 1. Repérez d'abord le domaine et l'ordre des valeurs sur la ligne de la variable. 2. Parcourez chaque intervalle de gauche à droite : une flèche montante traduit une croissance, une flèche descendante une décroissance et une flèche horizontale une constance. 3. Lisez les valeurs inscrites aux extrémités des flèches, puis comparez-les pour identifier les extrema sur la portion étudiée.

La convention de gauche à droite correspond aux valeurs croissantes de la variable, même si l'axe n'est pas dessiné à l'échelle. La pente graphique d'une flèche n'est donc pas une vitesse de croissance. Elle code seulement un sens de variation. Le bon réflexe consiste à lire les nombres et les intervalles plutôt qu'à comparer visuellement l'inclinaison ou la longueur des flèches.

On étudie une fonction sur l'intervalle fermé de 0 à 5. La fonction est définie par $f(x)=x^2-4x+3f(x)=x^2-4x+3$.
Les données sont le domaine $[0,5][0,5]$, la dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-4f\text{'}(x)=2x-4$ et la valeur charnière 2, où la dérivée s'annule.

1. Sur l'intervalle de 0 à 2, la dérivée est négative ou nulle. La fonction y est donc décroissante.

2. Sur l'intervalle de 2 à 5, la dérivée est positive ou nulle. La fonction y est donc croissante.

3. Les valeurs aux bornes et au changement de sens sont $f(0)=3f(0)=3$, $f(2)=-1f(2)=-1$ et $f(5)=8f(5)=8$. Le tableau fait donc descendre les valeurs de 3 à −1, puis les fait monter de −1 à 8.

Le minimum sur l'intervalle étudié vaut −1 et il est atteint pour la valeur 2 de la variable. Pour contrôler le résultat, on écrit $f(x)=(x-2{)}^2-1f(x)=(x-2)^2-1$ : le carré étant toujours positif ou nul, aucune valeur de la fonction ne peut être inférieure à −1.

Dans une étude de fonction, le tableau rassemble le signe de la dérivée, les changements de monotonie et les valeurs remarquables. On le préfère à une longue suite de phrases lorsque plusieurs intervalles doivent être comparés d'un coup d'œil.

Pour résoudre une équation graphiquement, les variations indiquent, sur chaque intervalle strictement monotone, si une hauteur donnée peut être atteinte et au plus une fois. Une portion constante à cette hauteur fournit au contraire une infinité de solutions, et une solution située à la borne commune de deux intervalles ne se compte qu'une fois. Si la valeur exacte des solutions est requise, il faut compléter cette lecture par un calcul ou une méthode d'approximation.

Pour esquisser une courbe, on place les points dont les valeurs figurent dans le tableau, puis on respecte les sens de variation. Si la courbure, les tangentes ou l'échelle sont importantes, un tracé enrichi est nécessaire, car les seules flèches ne portent pas ces informations.

Tableau de valeurs. Il associe des entrées précises à leurs images, tandis qu'un tableau de variations décrit l'évolution sur des intervalles du domaine. Pour la fonction de l'exemple, quelques couples numériques forment un tableau de valeurs ; les flèches autour de 2 donnent le tableau de variations.

Tableau de signes. Il indique où une expression est positive, nulle ou négative. Le tableau de variations indique où une fonction croît, reste constante ou décroît. Le signe de la dérivée peut servir à construire les variations, mais il ne constitue pas leur résultat.

Courbe représentative. Une courbe localise chaque point dans un repère et montre davantage de détails géométriques. Le tableau ne conserve que les intervalles de monotonie et certaines valeurs remarquables ; plusieurs courbes différentes peuvent donc partager le même tableau.

Valeur exclue. Une double barre peut signaler que la fonction n'est pas définie à cet endroit. Une rupture, en revanche, peut aussi concerner une fonction définie mais discontinue. Lorsque le point est exclu du domaine, il ne faut pas relier les deux côtés comme un même intervalle de monotonie ; chacun s'étudie séparément.

Palier. Une fonction constante sur un intervalle possède la même valeur en chacun de ses points. Cette valeur peut être un maximum ou un minimum atteint en une infinité de points, et non en un unique point remarquable.

Extremum local ou global. Un changement de décroissance à croissance donne un minimum local lorsqu'on ne considère qu'un voisinage. Il n'est global que si aucune valeur plus petite n'apparaît ailleurs dans le domaine étudié.

Dérivée nulle. L'annulation de la dérivée en un point ne suffit pas à imposer un extremum. Il faut examiner son signe de part et d'autre ou établir directement les variations ; sans changement de sens, le tableau ne présente pas de maximum ou de minimum à ce point.

Le sens de variation précise les inégalités qui caractérisent croissance et décroissance sur un intervalle.

La courbe représentative montre comment les informations condensées par le tableau se traduisent dans un repère.

Le minimum approfondit la différence entre une plus petite valeur, le point où elle est atteinte et le cadre étudié.

Le maximum local explique pourquoi une valeur dominante au voisinage d'un point ne l'est pas forcément sur tout le domaine.