Courbe représentative

Imaginez un tableau qui associe à chaque nombre d'entrée un nombre de sortie. Dans un repère, on place un point à l'adresse donnée par chaque paire entrée-sortie. L'ensemble de ces points forme la courbe représentative de la fonction. Sa forme rend visibles des informations difficiles à saisir dans un long tableau : les endroits où les valeurs montent ou descendent, les sommets et les creux, ou encore certaines directions dont la courbe se rapproche.

Soit une fonction notée f, définie sur un ensemble D de nombres réels et à valeurs réelles. Dans un repère du plan, sa courbe représentative est l'ensemble des points dont l'abscisse est un nombre x appartenant à D et dont l'ordonnée est l'image f(x). Cette relation s'écrit $C_f=\{(x,f(x))\mid x\in D\}C\_f=\backslash \{(x,f(x))\backslash mid\; x\backslash in\; D\backslash \}$, où C_f désigne la courbe.

Chaque abscisse du domaine fournit donc exactement un point de C_f. Réciproquement, tout point de cette courbe traduit une égalité entre son ordonnée et la valeur de la fonction à son abscisse. Le tracé dépend du repère et de ses échelles, mais l'ensemble mathématique représenté est déterminé par f et par son domaine. Une courbe peut être formée de plusieurs morceaux si le domaine n'est pas un intervalle ou si la fonction présente des discontinuités.

La courbe encode toutes les valeurs de la fonction. Sa lecture suggère les intervalles de croissance ou de décroissance, les extrema, les asymptotes et les points d'inflexion. Un dessin reste toutefois une représentation à une échelle donnée : une preuve de ces propriétés demande en général un raisonnement sur la fonction.

On rencontre une courbe représentative dans un repère muni de deux axes gradués. L'axe horizontal porte les valeurs d'entrée, l'axe vertical les valeurs de sortie. Le tracé peut couper un axe, présenter un sommet ou un creux, changer de courbure, ou s'approcher durablement d'une droite. Il peut aussi comporter des ruptures ou plusieurs morceaux. Ces marqueurs visuels portent des informations sur les valeurs et le comportement de la fonction, à condition de tenir compte du domaine et des échelles indiquées.

Pour lire la valeur de la fonction à une abscisse donnée, suivez trois étapes.
1. Repérez l'abscisse x sur l'axe horizontal et tenez compte de son unité.
2. Montez ou descendez verticalement jusqu'à la courbe.
3. Rejoignez horizontalement l'axe vertical : la graduation obtenue est f(x). Pour chercher les antécédents d'une valeur y, effectuez le trajet inverse à partir de l'axe vertical ; plusieurs intersections sont possibles.

L'œil peut croire qu'une courbe monte fortement parce que l'axe vertical est dilaté, ou qu'elle est presque plate parce qu'il est comprimé. Le bon réflexe consiste à lire les graduations de chaque axe avant d'interpréter une pente ou une variation. Il faut aussi distinguer une valeur lue approximativement dans la représentation d'une valeur exacte établie par le calcul.

Considérons la fonction f définie pour tout nombre réel x par $f(x)=x^2-2x-3f(x)=x^2-2x-3$.
Données : le domaine est l'ensemble des nombres réels ; les axes ont la même échelle ; cinq abscisses sont testées : −1, 0, 1, 2 et 3.
1. Le calcul donne successivement f(−1) = 0, f(0) = −3, f(1) = −4, f(2) = −3 et f(3) = 0.
2. Plaçons les cinq points correspondants, puis traçons la courbe continue de la fonction.
3. L'écriture $f(x)=(x-1{)}^2-4f(x)=(x-1)^2-4$ montre que la plus petite valeur est −4, atteinte exactement pour x = 1.
4. La courbe descend jusqu'au point (1, −4), puis remonte. Elle coupe l'axe horizontal en (−1, 0) et (3, 0).
Contrôle : remplacer x par −1, 1 et 3 dans la formule confirme les deux zéros et le minimum visibles dans la représentation.

En classe ou dans un exercice, la courbe sert à estimer rapidement une image, un antécédent ou un extremum. Si une valeur exacte est demandée, le calcul à partir de l'expression de la fonction doit remplacer la simple lecture graphique.

En analyse, elle donne une vue d'ensemble des variations, des asymptotes et des changements de courbure. Lorsque le tracé est trop resserré ou masque un comportement local, un changement d'échelle ou une étude algébrique devient préférable.

En modélisation, la courbe relie une grandeur d'entrée à une grandeur de sortie et rend une tendance visible. Un tableau de valeurs reste plus adapté lorsque l'on doit conserver des mesures précises plutôt qu'observer leur allure globale.

Courbe représentative et dessin quelconque. Une courbe de fonction respecte le test de la droite verticale : à une abscisse du domaine correspond une seule ordonnée. Un cercle complet échoue à ce test, car certaines droites verticales le coupent en deux points.

Courbe et expression de la fonction. La formule fournit une règle de calcul, tandis que la courbe est l'ensemble des points qui en résulte dans un repère. Pour f(x) = x², l'expression x² et la parabole associée décrivent la même fonction sous deux formes différentes.

Courbe et tableau de valeurs. Un tableau fini ne donne que certains couples entrée-sortie ; la courbe représentative comprend tous les points correspondant au domaine. Cinq valeurs calculées pour une fonction continue aident à tracer, mais ne constituent pas à elles seules toute sa courbe.

Fenêtre de tracé trompeuse. Un extremum, une intersection ou une asymptote peut se trouver hors de la zone affichée. Si un comportement attendu n'apparaît pas, il faut élargir l'intervalle observé ou l'établir par le calcul.

Trait continu abusif. Relier deux points connus suppose sans preuve que la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires. Si le domaine comporte un trou ou si la fonction est discontinue, il faut interrompre le tracé à l'endroit concerné.

Propriété seulement apparente. Une tangence, un point d'inflexion ou une asymptote ne se certifie pas à l'œil sur un dessin d'épaisseur non nulle. Le symptôme est une conclusion qui change avec le zoom ; il faut alors revenir à la définition et aux calculs.

Échelles inégales. Une unité horizontale et une unité verticale peuvent avoir des longueurs différentes sur la page. La forme visuelle et les angles sont alors déformés ; les coordonnées lues sur les graduations restent les données pertinentes.

Extremum. Approfondissez la manière de caractériser un maximum ou un minimum au-delà de sa seule apparence graphique.

asymptote. Précisez ce que signifie le rapprochement d'une courbe avec une droite et les limites qui le justifient.

point d'inflexion. Distinguez un véritable changement de convexité d'un simple changement visuel de pente.