AnalyseObjet géométrique · Glossaire
fonction cube
La fonction cube est la fonction numérique f définie sur ℝ par f(x) = x³, qui associe à tout réel x son cube. C'est une fonction polynomiale de degré trois, impaire (f(−x) = −f(x)), strictement croissante sur ℝ. Sa courbe représentative est une cubique ayant un point d'inflexion à l'origine. Sa dérivée est f'(x) = 3x². La fonction cube est la réciproque de la fonction racine cubique x ↦ ∛x, définie sur ℝ tout entier.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la fonction cube sur ℝ et calculer ses valeurs.
- Lire sa croissance, sa symétrie impaire et son point d’inflexion sur la courbe.
- Relier sa dérivée à ses variations et sa réciproque à la racine cubique.
En clair
Prenez un nombre et multipliez-le trois fois par lui-même. Avec 2, vous obtenez 2 × 2 × 2 = 8 ; avec −2, le résultat est −8. La fonction cube décrit précisément cette opération pour tous les nombres réels.
Les valeurs négatives restent négatives, zéro reste zéro et les valeurs positives deviennent positives. Quand le nombre de départ augmente, son cube augmente aussi. La courbe traverse donc l’origine et présente la même forme après un demi-tour autour de ce point.
Définition
La fonction cube est une fonction numérique définie sur l’ensemble des nombres réels. Pour tout réel noté x, elle associe le nombre f(x) donné par le nœud d’équation suivant : . Il s’agit d’une fonction polynomiale de degré trois. Son domaine de définition comme son ensemble de valeurs sont ℝ.
Elle est impaire : pour tout réel x, . Elle est aussi strictement croissante sur ℝ : si un réel a est inférieur à un réel b, alors . Sa courbe représentative, appelée cubique, passe par l’origine. Elle y possède un point d’inflexion : la courbure change de sens, mais la fonction continue d’augmenter.
La dérivée de la fonction cube est . Enfin, la fonction réciproque de la fonction cube est la racine cubique, qui envoie tout réel x sur ∛x et reste définie sur ℝ tout entier.
De quoi c'est fait
La fonction cube repose sur quatre éléments. Son domaine contient tous les réels x. Sa règle de calcul multiplie x par lui-même trois fois. La valeur obtenue, notée f(x), est encore un réel. Enfin, sa courbe représentative rassemble les points de coordonnées (x ; x³) dans un repère.
Le domaine fournit chaque abscisse à la règle, puis le résultat fixe l’ordonnée du point correspondant. Cette dépendance suffit à construire toute la courbe. Pour les entrées −2, −1, 0, 1 et 2, les points obtenus rendent visibles le passage par l’origine, la croissance et la symétrie centrale. La couleur, l’échelle et l’épaisseur du tracé ne définissent pas la fonction.
Un exemple, pas à pas
On veut placer cinq points de la courbe. Les données sont les abscisses x = −2, −1, 0, 1 et 2. Pour chacune, l’ordonnée est le cube de x.
1. Pour x = −2, le calcul donne (−2) × (−2) × (−2) = −8. Le premier point est donc (−2 ; −8).
2. Pour x = −1 puis x = 0, les cubes valent respectivement −1 et 0. On place les points (−1 ; −1) et (0 ; 0).
3. Pour x = 1 puis x = 2, les cubes valent 1 et 8. On place les points (1 ; 1) et (2 ; 8).
4. Le contrôle consiste à comparer les points opposés : les ordonnées de −2 et 2 sont opposées, tout comme celles de −1 et 1. Les cinq ordonnées −8, −1, 0, 1 et 8 augmentent avec les abscisses. La symétrie impaire et la croissance stricte sont donc vérifiées sur cet échantillon.
En pratique
Pour tracer la courbe, on calcule quelques cubes, on place les points (x ; x³), puis on les relie par une courbe régulière. Si la relation étudiée n’est pas exactement de la forme x³, il faut tracer la fonction réellement donnée.
Pour résoudre une équation comme x³ = 8, on applique la racine cubique et l’on obtient x = 2. La racine carrée conviendrait à une équation portant sur x², pas sur un cube.
Pour comparer deux réels, la croissance stricte donne un raccourci fiable : si a < b, alors a³ < b³. Réciproquement, l’ordre de deux cubes permet de retrouver l’ordre des nombres de départ.
À ne pas confondre
La fonction cube et une fonction cubique. La fonction cube est précisément x ↦ x³. Une fonction cubique est plus généralement un polynôme de degré trois. Par exemple, x ↦ x³ + 1 est cubique, mais ce n’est pas la fonction cube.
Le cube et la racine cubique. Le cube transforme 2 en 8, tandis que la racine cubique ramène 8 à 2. Le critère décisif est le sens de l’opération : ces deux fonctions sont réciproques.
Élever au cube et multiplier par trois. Pour x = 2, le cube vaut 8, alors que 3x vaut 6. L’exposant 3 demande trois facteurs égaux à x ; le coefficient 3 additionne trois fois x.
Limites et pièges
Une dérivée nulle ne signifie pas ici un maximum ou un minimum. À l’origine, f′(0) = 0, mais les valeurs de x³ continuent d’augmenter de part et d’autre de 0. Il faut examiner la variation, pas seulement l’annulation de la dérivée.
Le point d’inflexion n’est pas un changement de sens de variation. En (0 ; 0), c’est la courbure qui change de sens. La courbe conserve sa croissance stricte et sa tangente y est horizontale.
Les nombres négatifs appartiennent au domaine. Contrairement à la racine carrée réelle, la fonction cube et la racine cubique sont définies pour tout réel. Ainsi, (−2)³ = −8 et ∛(−8) = −2.
Pour aller plus loin
Fonction impaire — Pour généraliser la symétrie centrale observée sur la courbe de x³.
point d'inflexion — Pour préciser ce qui change à l’origine sans interrompre la croissance.
cubique — Pour situer la fonction cube parmi l’ensemble des polynômes de degré trois.
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