Fonction impaire

Imaginez la courbe de la fonction cube : au nombre 2, elle associe 8 ; au nombre −2, elle associe −8. Chaque fois que l’entrée change de signe, la sortie change aussi de signe. Les deux points correspondants se font face de part et d’autre de l’origine du repère.

Cette correspondance caractérise une fonction impaire. Faire tourner sa courbe d’un demi-tour autour de l’origine la laisse inchangée.

Une fonction réelle est impaire lorsque son domaine de définition est symétrique par rapport à 0 et que les images de deux nombres opposés sont elles-mêmes opposées. Si la lettre f désigne la fonction et si x désigne un nombre quelconque de son domaine, le critère est :

La symétrie du domaine garantit que −x appartient aussi au domaine, donc que les deux membres peuvent être comparés. Sur le graphe, le point de coordonnées (x, f(x)) est accompagné du point (−x, −f(x)) : la courbe admet l’origine pour centre de symétrie. Si 0 appartient au domaine, le critère impose f(0) = 0. Les fonctions sinus et tangente, sur leurs domaines respectifs, ainsi que les monômes xⁿ lorsque l’entier n est impair, sont des exemples classiques. La somme de deux fonctions impaires définies sur un même domaine symétrique est impaire ; leur produit est pair.

Quatre éléments forment la structure. Le domaine indique les entrées autorisées et doit contenir −x dès qu’il contient x. La paire d’entrées opposées, x et −x, fournit les valeurs à comparer. Leurs images opposées, f(x) et −f(x), réalisent le critère d’imparité. Enfin, l’origine du repère est le centre de la symétrie graphique.

Le domaine rend la comparaison possible ; l’égalité entre les images produit ensuite la symétrie de la courbe. Le choix d’une échelle, d’une couleur ou d’un intervalle d’affichage ne définit pas l’imparité. Ces quatre données suffisent à tester algébriquement la propriété et à compléter la moitié d’une courbe par un demi-tour autour de l’origine.

Considérons la fonction f définie sur tous les nombres réels par f(x) = x³. Son domaine est ℝ, et les deux entrées choisies pour le contrôle sont 2 et −2.

1. Remplaçons x par −x : f(−x) = (−x)³.
2. Comme l’exposant 3 est impair, (−x)³ = −x³.
3. Or −x³ est exactement −f(x). Le critère est donc satisfait pour tout réel x.

Le calcul conclut que la fonction cube est impaire. Le contrôle numérique donne f(2) = 8 et f(−2) = −8. La courbe rend le même résultat visible : les points (1, 1) et (−1, −1), comme les points (2, 8) et (−2, −8), s’échangent par un demi-tour autour de l’origine.

Pour tester une formule, on calcule f(−x) puis on simplifie. Si le résultat vaut −f(x) pour toute entrée autorisée, la fonction est impaire. Si le domaine n’est pas symétrique, ce test ne peut pas conclure à l’imparité.

Pour tracer une courbe, la propriété permet de construire une moitié puis d’obtenir l’autre par symétrie centrale. Cette économie est préférable à un second calcul point par point lorsque l’imparité a déjà été démontrée.

Pour contrôler rapidement un résultat, deux entrées opposées doivent donner des sorties opposées. Une paire qui échoue réfute immédiatement l’imparité ; quelques paires qui réussissent ne suffisent toutefois pas à la prouver.

La parité d’une fonction ne se lit pas seulement à son allure générale : elle repose sur un domaine symétrique et sur une égalité valable partout.

Une fonction paire vérifie f(−x) = f(x) et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe vertical. Ainsi, la fonction carré est paire, tandis que la fonction cube est impaire.

Une fonction peut ne satisfaire aucune des deux égalités, même sur un domaine symétrique. Pour g(x) = x³ + 1, on obtient g(−1) = 0, alors que g(1) = 2 et −g(1) = −2 : elle n’est ni paire ni impaire.

Le critère doit être appliqué avec ses hypothèses, pas seulement reconnu sur quelques points ou sur une fenêtre de tracé.

Sur le domaine [0, +∞[, la formule x³ n’est pas qualifiée d’impaire, car −1 n’est pas autorisé alors que 1 l’est. Il faut d’abord vérifier que chaque entrée possède son opposée dans le domaine.

Si 0 appartient au domaine d’une fonction impaire, alors f(0) = 0. Mais passer par l’origine ne suffit pas : la fonction h(x) = x² + x vérifie h(0) = 0 sans être impaire.

L’égalité observée pour x = 1 et x = −1 ne prouve rien pour les autres valeurs. Une seule paire en défaut suffit à réfuter l’imparité ; pour la démontrer, il faut raisonner sur tout x du domaine.

Une fonction impaire n’a pas nécessairement une courbe continue. La tangente est impaire sur son domaine symétrique, malgré ses valeurs interdites ; la symétrie concerne l’ensemble complet des points où la fonction est définie.

Ces notions prolongent l’étude du critère algébrique et de sa traduction géométrique.

Fonction paire — Comparez les deux critères de parité et leurs axes de symétrie.

parité d'une fonction — Replacez fonctions paires et impaires dans une même démarche de classification.

symétrie centrale — Approfondissez la transformation géométrique qui échange les points opposés de la courbe.