Fonction paire

Sur le graphe de la fonction qui associe à un nombre son carré, les points d’abscisses −2 et 2 ont la même hauteur : 4. Le même phénomène se reproduit pour chaque paire de nombres opposés. La moitié gauche de la courbe est donc le reflet de la moitié droite dans l’axe vertical.

Une fonction qui ne distingue ainsi aucun nombre de son opposé est dite paire. Cette idée suppose que son domaine accepte les deux entrées, par exemple −2 aussi bien que 2.

Soit une fonction notée f. Son domaine doit être symétrique par rapport à zéro : dès qu’un nombre x appartient au domaine, son opposé −x doit aussi lui appartenir. La fonction est paire lorsque les deux entrées opposées ont toujours la même image : $f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)$. Cette égalité doit être vraie pour tout nombre x du domaine, et non pour quelques valeurs seulement.

Dans un repère, cette propriété équivaut à une symétrie du graphe par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction cosinus, la valeur absolue et les monômes dont le degré est pair sont des exemples classiques. Une fonction constante sur un domaine symétrique est également paire.

Pour toute fonction réelle f définie sur un domaine symétrique, sa partie paire et sa partie impaire sont données par et l’on a $f=f_p+f_{i}f=f\_\{p\}+f\_\{i\}$. Cette décomposition est unique.

Quatre éléments portent la parité d’une fonction. Le domaine doit contenir chaque entrée avec son opposé. La règle de la fonction associe une image à ces deux entrées. Le test d’égalité compare leurs images. Enfin, le graphe rend cette égalité visible par deux points situés à la même hauteur de part et d’autre de l’axe des ordonnées.

Le domaine rend le test possible ; la règle détermine ensuite si les images coïncident. La symétrie du graphe découle de cette égalité, mais la couleur, l’échelle ou l’épaisseur du tracé ne définissent pas la parité. La figure de la fonction x ↦ x² matérialise ces dépendances avec les entrées −2 et 2.

On veut déterminer si la fonction f qui associe à tout nombre réel son carré est paire. Les données sont son domaine, l’ensemble des nombres réels, et sa règle : $f(x)=x^{2}f(x)=x^2$.

1. Le domaine contient chaque nombre réel x et son opposé −x.
2. On remplace l’entrée x par −x : $f(-x)=(-x{)}^{2}f(-x)=(-x)^2$.
3. Le carré d’un nombre et celui de son opposé sont égaux : $(-x{)}^2=x^2(-x)^2=x^2$.
4. On obtient donc $f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)$ pour tout réel x.

La fonction est paire. Un contrôle numérique refaisable donne f(−2) = 4 et f(2) = 4. Ce contrôle illustre le résultat, tandis que le calcul avec un nombre réel quelconque le démontre sur tout le domaine.

Pour tester une formule, on calcule l’expression obtenue en remplaçant l’entrée x par son opposé. Si elle se simplifie en f(x) pour toute entrée du domaine, la fonction est paire. Quelques essais numériques ne remplacent pas cette vérification générale.

Pour tracer une fonction déjà reconnue paire, il suffit d’étudier sa courbe pour les abscisses positives ou nulles, puis de reproduire cette moitié par symétrie autour de l’axe des ordonnées. Un tracé direct sur tout le domaine reste préférable si le domaine n’est pas symétrique.

Pour analyser une fonction sans parité apparente, on peut calculer séparément sa partie paire et sa partie impaire. Ce choix est utile lorsque l’on veut isoler ce qui reste inchangé ou ce qui change de signe quand x devient −x.

Une fonction impaire vérifie $f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)$, tandis qu’une fonction paire vérifie $f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)$. Le cas f(x) = x² tranche : f(−2) et f(2) valent tous deux 4, donc cette fonction est paire et n’est pas impaire.

Si le domaine n’est pas symétrique par rapport à zéro, le test de parité n’est pas applicable. Par exemple, sur l’intervalle des réels positifs ou nuls, l’entrée 2 existe mais −2 manque. Il faut alors décrire la fonction sur ce domaine sans la déclarer paire.

Une égalité observée pour une seule paire d’entrées ne suffit pas. Avoir f(−2) = f(2) ne prouve rien pour les autres nombres. Il faut établir l’identité pour tout x du domaine, ou trouver un seul contre-exemple pour écarter la parité.

La fonction nulle est un cas charnière : elle est à la fois paire et impaire, car 0 est égal à son opposé. En revanche, une fonction constante non nulle sur un domaine symétrique est paire mais pas impaire.

La décomposition en une partie paire et une partie impaire exige que f(x) et f(−x) soient toutes deux définies. Sur un domaine non symétrique, les deux formules ne donnent donc pas une décomposition de la fonction sur tout son domaine.

La fonction impaire complète l’étude de la parité : elle montre le cas où deux entrées opposées donnent des images opposées et éclaire la décomposition de toute fonction sur un domaine symétrique.