fonction valeur absolue

Sur une droite graduée, les nombres −3 et 3 se trouvent de part et d'autre de zéro, mais à la même distance de l'origine. Cette distance vaut 3 dans les deux cas. La valeur absolue oublie donc le côté où se trouve un nombre et conserve son éloignement à zéro.

Ainsi, un nombre positif reste inchangé, tandis qu'un nombre négatif perd son signe : |5| vaut 5 et |−3| vaut 3. Le résultat est toujours positif ou nul.

La fonction valeur absolue associe à chaque nombre réel sa distance à zéro. Pour un réel nommé x, sa valeur est notée |x|. La fonction, notée f, a pour ensemble de départ et d'arrivée l'ensemble ℝ des réels : $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }f:\backslash mathbb\{R\}\backslash to\backslash mathbb\{R\},\backslash quad\; f(x)=|x|$.

La règle dépend du signe du nombre :
Dans les deux cas, |x| est positif ou nul, et |x| vaut zéro exactement lorsque x vaut zéro. Deux nombres opposés ont la même image, puisque |−x| = |x|.

Son graphe est formé de deux demi-droites : celle de la fonction x sur les réels positifs ou nuls, et celle de la fonction −x sur les réels négatifs. Elles se rejoignent en l'origine. Le graphe est donc un V symétrique par rapport à l'axe vertical. La fonction est continue sur ℝ, mais elle n'est pas dérivable en zéro, car les pentes à gauche et à droite y valent respectivement −1 et 1.

La fonction repose sur quatre éléments liés. Son domaine contient tous les réels. Sa règle en deux branches conserve x quand il est positif ou nul et prend son opposé quand il est négatif. Son sommet est l'origine, où les deux branches se rencontrent. Enfin, sa symétrie traduit l'égalité entre les distances de x et de −x à zéro.

La règle impose la forme en V : chaque branche est une demi-droite, et le changement de formule en zéro produit le point anguleux. Pour deux réels nommés a et b, elle entraîne aussi trois relations fondamentales :
Ces données suffisent à calculer une valeur absolue, tracer son graphe et majorer ou minorer des écarts. La couleur, l'échelle et l'épaisseur du tracé ne définissent pas la fonction.

Prenons deux réels : a vaut −3 et b vaut 5. Sur la droite réelle, ils sont placés de part et d'autre de zéro. Leurs distances à l'origine et leurs combinaisons vont servir de contrôle commun. Le but est de lire chaque valeur absolue comme une distance, puis de vérifier que les deux bornes donnent le bon ordre.

Données : a = −3 ; b = 5 ; l'origine est 0.

1. Comme a est négatif, son opposé vaut 3 : |−3| = 3. Comme b est positif, |5| = 5.

2. La somme vaut a + b = −3 + 5 = 2. On obtient |a + b| = 2, tandis que |a| + |b| = 3 + 5 = 8. L'inégalité triangulaire donne bien 2 ≤ 8.

3. La différence vaut a − b = −3 − 5 = −8, donc |a − b| = 8. La différence des distances vaut ||a| − |b|| = |3 − 5| = 2. L'inégalité inverse donne bien 8 ≥ 2.

Le résultat se contrôle sur le graphe : les points d'abscisses −3 et 5 ont pour ordonnées 3 et 5. Ces ordonnées sont les distances respectives à zéro, et elles appartiennent aux deux branches du même V.

Pour mesurer l'écart entre deux nombres x et y sans tenir compte de l'ordre, on utilise |x − y|. Une différence signée reste préférable lorsque le sens de la variation compte.

Pour résoudre une condition comme |x| ≤ 3, on lit une distance à zéro d'au plus 3 : les solutions vont de −3 à 3. Une équation signée est préférable si un seul côté de zéro doit être retenu.

Pour comparer une mesure à une valeur de référence, la valeur absolue donne la taille de l'erreur, par exemple |mesure − référence|. L'erreur relative est plus informative lorsque l'échelle des valeurs varie fortement et que la référence n'est pas nulle.

Valeur absolue et opposé. L'opposé de x est −x et change son signe ; la valeur absolue est sa distance à zéro et ne peut pas être négative. Pour x = 5, l'opposé vaut −5, mais |5| vaut 5.

Fonction valeur absolue et fonction affine. La fonction x ↦ |x| change de pente en zéro et son graphe forme un V. Une fonction affine possède une pente unique et son graphe est une droite ; elle peut coïncider avec une seule branche, jamais avec le V entier.

Valeur absolue et norme. La valeur absolue mesure la taille d'un réel. Une norme étend cette idée à des vecteurs et doit respecter des propriétés précises. Sur ℝ, la norme usuelle d'un réel coïncide avec sa valeur absolue ; dans un espace vectoriel, l'objet mesuré n'est plus nécessairement un nombre réel.

Au point zéro. Le graphe reste continu : les valeurs se rapprochent de zéro quand x se rapproche de zéro. En revanche, la pente passe de −1 à gauche à 1 à droite. Il n'existe donc pas de dérivée en zéro ; il faut raisonner séparément de chaque côté.

Retirer les barres sans étudier le signe. L'égalité |x| = x n'est vraie que pour x ≥ 0. Pour x = −3, elle donnerait à tort −3 au lieu de 3. Il faut d'abord déterminer le signe, puis choisir la branche correspondante.

Distribuer sur une somme. En général, |a + b| n'est pas égal à |a| + |b|. Avec a = −3 et b = 5, les deux membres valent 2 et 8. La relation toujours valable est l'inégalité |a + b| ≤ |a| + |b|.

Inverser l'inégalité des différences. Pour tous réels a et b, la distance |a − b| est au moins la différence de leurs distances à zéro : |a − b| ≥ ||a| − |b||. Dans l'exemple, 8 ≥ 2 ; écrire le sens contraire ferait échouer ce cas.

La fiche norme prolonge la distance à zéro vers les vecteurs et précise les propriétés qui rendent cette généralisation possible.

L'article Les richesses de l’inégalité triangulaire développe la relation qui borne la valeur absolue d'une somme.

La fiche fonction affine aide à reconnaître les deux demi-droites du graphe et à comprendre leur changement de pente en zéro.