GéométrieNotion · Glossaire
Pente
La pente d'une droite non verticale dans le plan est le coefficient directeur de son équation cartésienne y = ax + b, c'est-à-dire le réel a. Elle mesure l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses : une pente positive correspond à une droite croissante, une pente négative à une droite décroissante. La pente est égale à la tangente de l'angle que fait la droite avec l'axe des abscisses. Pour deux points (x1, y1) et (x2, y2) de cette droite, d'abscisses différentes, la pente est (y2 − y1) / (x2 − x1).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la pente au coefficient directeur de y = ax + b.
- Calculer la pente à partir de deux points d'abscisses différentes.
- Interpréter le signe de la pente et reconnaître le cas d'une droite verticale.
En clair
Imaginez une droite qui avance de gauche à droite. Si elle monte de 8 carreaux quand elle progresse de 4 carreaux, elle gagne 2 carreaux en hauteur par carreau horizontal. Ce nombre 2 est sa pente.
Une pente positive indique une montée, une pente négative une descente et une pente nulle une droite horizontale. Plus sa valeur absolue est grande, plus la droite est inclinée par rapport à l'axe horizontal.
Définition
Dans un repère du plan, la pente d'une droite non verticale est le nombre qui mesure la variation de l'ordonnée lorsque l'abscisse augmente d'une unité. Elle porte aussi le nom de coefficient directeur. Dans l'équation y = ax + b, la lettre x désigne l'abscisse, y l'ordonnée, a la pente et b l'ordonnée à l'origine.
Soient deux points de la droite, de coordonnées (x1, y1) et (x2, y2). Lorsque leurs abscisses x1 et x2 sont différentes, la pente a est le quotient de la variation verticale par la variation horizontale : . Le résultat ne dépend pas des deux points choisis sur la droite.
Une valeur positive caractérise une droite croissante, une valeur négative une droite décroissante et la valeur 0 une droite horizontale. Si la droite fait avec l'axe des abscisses un angle orienté α, sa pente est . Une droite verticale échappe à cette définition, car la variation horizontale en x est nulle.
Un exemple, pas à pas
On cherche la pente de la droite qui passe par les points A et B. Le calcul compare leur déplacement horizontal et leur déplacement vertical.
Données.
Le point A a pour coordonnées (1 ; 2).
Le point B a pour coordonnées (5 ; 10).
Le point A a pour coordonnées (1 ; 2).
Le point B a pour coordonnées (5 ; 10).
1. La variation horizontale vaut 5 − 1 = 4.
2. La variation verticale vaut 10 − 2 = 8.
3. On divise la seconde variation par la première : .
La pente vaut donc 2 : pour une unité gagnée en abscisse, la droite gagne 2 unités en ordonnée. Le tracé du segment AB rend visibles ces deux variations.
Pour contrôler le résultat, on part de A et l'on avance de 4 unités vers la droite, puis de 8 unités vers le haut. On atteint bien B, et le rapport 8 ÷ 4 redonne 2.
En pratique
Sur un graphique, la pente permet de comparer des droites sans se fier seulement à leur apparence. On choisit deux points lisibles, puis on rapporte la variation verticale à la variation horizontale. Si les axes n'ont pas la même échelle, les coordonnées priment sur les carreaux.
Pour écrire l'équation d'une droite, deux points d'abscisses différentes suffisent à trouver la pente. On détermine ensuite l'ordonnée à l'origine. Si les deux abscisses sont égales, on emploie plutôt une équation de la forme x = c.
Dans une fonction affine, la pente indique la variation constante de la valeur de la fonction quand la variable augmente d'une unité. Si la variation n'est pas constante, une seule pente ne décrit pas tout le graphique.
À ne pas confondre
Pente et ordonnée à l'origine. Dans y = ax + b, la pente est a, tandis que b est la hauteur où la droite coupe l'axe des ordonnées. Ainsi, les droites y = 2x + 3 et y = 2x − 1 ont la même pente 2, mais des ordonnées à l'origine différentes.
Pente et angle. L'angle orienté décrit l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe horizontal ; la pente est la tangente de cet angle. Un angle orienté de 45° donne une pente égale à 1 : les deux valeurs sont liées, mais elles ne s'expriment pas de la même manière.
Limites et pièges
Deux points alignés verticalement. Si x2 − x1 = 0, le quotient demanderait une division par zéro. La droite est verticale et n'a pas de pente réelle finie ; on la décrit par une équation x = c.
Lecture trompeuse d'un graphique. Une droite peut sembler très raide lorsque l'axe vertical est étiré. Il faut calculer avec les valeurs portées sur les axes, et non compter les carreaux comme s'ils représentaient la même unité.
Ordre des points. Inverser A et B change simultanément le signe du numérateur et celui du dénominateur. Le quotient reste donc identique. En revanche, mélanger les deux ordres produit à tort l'opposé de la pente.
Pour aller plus loin
coefficient directeur — Pour approfondir le nom algébrique de la pente et son rôle dans l'équation d'une droite.
fonction affine — Pour relier une pente constante à l'expression et au graphique d'une fonction.
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