coefficient directeur
Dans un plan muni d'un repère orthonormé ou d'une base (i, j), le coefficient directeur d'une droite non verticale est la deuxième coordonnée du vecteur directeur de cette droite normalisé de sorte que sa première coordonnée soit égale à 1. Il est couramment noté m ou a. Si la droite passe par deux points distincts de coordonnées (x₁, y₁) et (x₂, y₂), son coefficient directeur vaut (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Géométriquement, il représente la pente de la droite : un coefficient directeur positif correspond à une droite croissante, un coefficient négatif à une droite décroissante, et un coefficient nul à une droite horizontale. L'équation réduite de la droite s'écrit alors y = mx + b, où b est l'ordonnée à l'origine.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Calculer le coefficient directeur à partir de deux points.
- Le lire dans une équation réduite y = mx + b.
- Interpréter son signe et reconnaître le cas vertical non défini.
- Le distinguer d'un vecteur directeur et de l'ordonnée à l'origine.
En clair
Sur un graphique, imaginez que vous avancez de 3 carreaux vers la droite et montez de 6 carreaux pour rester sur la même droite. Le rapport entre la montée et l'avancée vaut 2. Ce nombre est le coefficient directeur de la droite.
Son signe indique le sens de la pente : positif quand la droite monte, négatif quand elle descend, nul quand elle reste horizontale. Plus sa valeur absolue est grande, plus la variation verticale est forte pour une même avancée horizontale.
Définition
Le coefficient directeur caractérise la direction d'une droite non verticale dans un plan muni d'un repère. Il se note couramment m ou a. Si la droite passe par deux points distincts, le premier de coordonnées (x1, y1) et le second de coordonnées (x2, y2), leurs abscisses doivent être différentes. Le coefficient est alors le quotient de la variation des ordonnées par celle des abscisses : .
Un vecteur directeur peut être normalisé afin que sa première coordonnée vaille 1 ; sa seconde coordonnée est alors m. Dans un repère orthonormé, ce nombre représente la pente géométrique. Il est positif pour une droite croissante, négatif pour une droite décroissante et nul pour une droite horizontale.
L'équation réduite s'écrit . La lettre b désigne l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur de y lorsque x vaut 0. Le coefficient directeur règle l'inclinaison ; l'ordonnée à l'origine règle la position verticale.
Un exemple, pas à pas
Une droite passe par le point A de coordonnées (1 ; 2) et le point B de coordonnées (4 ; 8). Les données sont donc x1 = 1, y1 = 2, x2 = 4 et y2 = 8.
1. Calculez la variation horizontale : 4 − 1 = 3.
2. Calculez la variation verticale : 8 − 2 = 6.
3. Divisez la seconde variation par la première : .
4. Cherchez ensuite l'ordonnée à l'origine dans y = 2x + b. Avec le point A, 2 = 2 × 1 + b, donc b = 0.
2. Calculez la variation verticale : 8 − 2 = 6.
3. Divisez la seconde variation par la première : .
4. Cherchez ensuite l'ordonnée à l'origine dans y = 2x + b. Avec le point A, 2 = 2 × 1 + b, donc b = 0.
La droite a donc pour coefficient directeur 2 et pour équation réduite y = 2x. Pour contrôler le résultat, remplacez x par 4 : on obtient y = 2 × 4 = 8, l'ordonnée du point B. La représentation met en évidence la même proportion : 3 unités vers la droite correspondent à 6 unités vers le haut.
En pratique
Avec deux points d'une droite, on calcule le coefficient par le quotient des variations. Si les deux abscisses sont égales, cette méthode s'arrête : la droite est verticale et n'a pas de coefficient directeur.
Dans une équation réduite y = mx + b, on lit directement le coefficient devant x. Si l'équation n'est pas sous cette forme, il faut d'abord isoler y avant d'identifier m.
Sur un graphique, on choisit deux points exacts de la droite et non deux positions estimées entre les graduations. On compare ensuite la variation verticale à la variation horizontale ; le signe du quotient confirme si la droite monte ou descend de gauche à droite.
À ne pas confondre
Le coefficient directeur est un nombre, tandis qu'un vecteur directeur possède deux coordonnées. Pour la droite de l'exemple, 2 est le coefficient directeur et (1 ; 2) peut être un vecteur directeur : le premier objet est scalaire, le second donne un déplacement.
Le coefficient directeur m ne se confond pas avec l'ordonnée à l'origine b. Dans y = mx + b, m mesure la variation de y pour une unité de x, tandis que b est la valeur de y à x = 0. Pour y = 2x, ces valeurs sont respectivement 2 et 0.
Limites et pièges
Si x2 = x1, le dénominateur vaut 0. Le quotient n'est pas défini : la droite est verticale et il ne faut pas lui attribuer un coefficient directeur.
Inverser l'ordre des deux points ne change pas le résultat, à condition d'inverser les deux différences ensemble. Avec B puis A, on obtient (2 − 8)/(1 − 4) = −6/−3 = 2. Inverser une seule différence produit à tort −2.
Le signe suffit à distinguer trois cas charnières : m > 0 pour une droite croissante, m < 0 pour une droite décroissante et m = 0 pour une droite horizontale. Une valeur négative ne signifie donc pas une pente plus faible, mais un sens de variation opposé.
Dans une base quelconque, le coefficient décrit la seconde coordonnée du vecteur directeur normalisé dans cette base. Son interprétation visuelle comme pente usuelle suppose un repère orthonormé ; sinon, l'apparence de l'inclinaison dépend du repère choisi.
Pour aller plus loin
Pente — Reliez le quotient des variations à l'interprétation géométrique de l'inclinaison.
Vecteur directeur — Passez du nombre m aux coordonnées d'un déplacement parallèle à la droite.
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